Как можно сократить параллелограмм

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

Как правильно сокращать слова

При написании текстов рано или поздно каждый копирайтер сталкивается с сокращениями. Тогда возникают вопросы: как правильно сократить слово, можно ли его сокращать вообще, на какие правила ориентироваться при сокращении. Хорошо, если автор начинает задумываться над, казалось бы, такими незначительными моментами. Ведь любая неточность в тексте, опечатка или ошибка могут вызывать эффект отторжения у грамотного человека, разрушить атмосферу, которую вы пытаетесь создать.

Сегодня постараемся затронуть все вопросы, которые могут появиться при написании текстов для продажи товара, услуги. Также эта статья будет полезна для авторов блогов, администраторов сайтов, страниц социальных сетей и всех, кто желает разобраться в непростой теме сокращений слов.

Какими правилами руководствуемся

В первую очередь нужно сказать, что при написании любого текста (даже сообщения в мессенджере) следует ориентироваться на адресата. Если пишется сообщение другу, то, конечно, соблюдать общепринятые правила или нет — полностью решение автора. В SMS «и так далее» можно заметить «и тэдэ», а «килограмм» на «кэгэ», и никто не задаст вопроса об уместности такого сокращения. Допустимо ли оно при написании официального письма, статьи на сайт, при заполнении документов? Нет, нужно придерживаться правил.

Основные правила сокращения слов в русском языке

В любом информационном тексте, который предназначен для прочтения даже небольшой аудиторией, допускаются лишь общепринятые сокращения, понятные без расшифровок.

Основные правила сокращения:

Как сокращать существительные во множественном числе

Обратите внимание, что года, века, тысячелетия, а также любые числовые значения пишутся через тире (а не дефис) и без пробелов.

Частные случаи сокращений

Ниже рассмотрим варианты сокращения слов в русском языке, вопросы о правильности которых появляются особенно часто.

Как правильно сократить почтовые сведения

Сократить слово «район» можно только как « р-н» (без точки) и никак иначе.

Как правильно сокращать единицы измерения

При написании текстов на страницы товаров часто нужно указывать их размеры, мощность, массу. Единицы измерения пишут полностью редко, поскольку это не только не принято, но и отвлекает внимание от параметров. Чаще всего после единицы измерения точки не ставят: ее написание считается грубым нарушением правил. Однако здесь есть исключения. Рассмотрим основные сокращения.

Измерение массы
грамм	г (никаких гр.)
килограмм	кг
центнер	ц
тонна	т
Измерение времени
секунда	с
минута	мин. мин (при написании текстов по ГОСТу)
час	ч. ч (при написании текстов по ГОСТу)
Измерение длины (расстояния)
миллиметр	мм
сантиметр	см
дециметр	дм
метр	м
километр	км

Другие единицы измерения сокращаются таким образом: ампер (А, международное — A), ватт (Вт, международное — W), вольт (В, международное — V).

Сокращение чисел

С. или стр.

Как правильно сократить слово « рубли »

Всем известны сокращения «и др.», «и пр.». Главное правило написания: сокращение ставим после определяемого слова. Так, « также для украшения свадебного зала вы можете приобрести цветы: розы, тюльпаны, хризантемы, ромашки, лилии и др.» — правильно, а «в нашем зоопарке вы сможете познакомиться с обезьянами, львами, тиграми, жирафами, волками и др. животными» — неправильно. В последнем случае возможно лишь полное написание слова.

Аббревиатуры

Часто встречается ошибка при сокращении сочетания «фамилия, имя, отчество». Ф. И. О. — верно, как и написание аббревиатуры строчными буквами ( ф.и.о. ), сокращение ФИО считается неправильным.

Немного о времени

Заключение

В статье были рассмотрены общие правила сокращения слов, а также частные случаи, с которыми чаще всего встречаются копирайтеры при написании текстов. Однако, чтобы полностью осветить тему, понадобилось бы слишком много времени. Поэтому в каждом конкретном случае автору придется углубиться в справочники для грамотного написания сокращений.

Соблюдение этих правил поможет создать приятный и легкий для прочтения текст.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Особые случаи

Характеристики

Прочие свойства

Формула площади

Все формулы площади для общих выпуклых четырехугольников применимы к параллелограммам. Дальнейшие формулы относятся к параллелограммам:

K прямоугольник знак равно ( B + А ) × ЧАС <\ Displaystyle К _ <\ текст > = (В + А) \ раз Н \,>

а площадь одного оранжевого треугольника равна

Следовательно, площадь параллелограмма равна

Другая формула площади для двух сторон B и C и угла θ:

где главный множитель 2 обусловлен тем, что выбранная диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. S знак равно ( B + C + D 1 ) / 2 <\ Displaystyle S = (В + С + D_ <1>) / 2>

Площадь в декартовых координатах вершин

Доказательство того, что диагонали делят друг друга пополам

Чтобы доказать, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, воспользуемся конгруэнтными треугольниками :

(поскольку это углы, которые образует трансверсаль с параллельными линиями AB и DC ).

Следовательно, треугольники ABE и CDE равны (постулат ASA, два соответствующих угла и включенная сторона ).

Поскольку диагонали AC и BD делят друг друга на отрезки равной длины, диагонали делят друг друга пополам.

Решетка параллелограммов

Параллелограммы, возникающие из других фигур

Автомедианный треугольник

Вариньонный параллелограмм

В серединах сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, называется его Varignon параллелограмм. Если четырехугольник выпуклый или вогнутый (то есть не самопересекающийся), то площадь параллелограмма Вариньона составляет половину площади четырехугольника.

Касательный параллелограмм эллипса

Можно восстановить эллипс из любой пары сопряженных диаметров или из любого касательного параллелограмма.

Грани параллелепипеда

Параллелепипед является трехмерной фигурой, шесть граней параллелограммы.

Источник

Как доказать, что фигура – параллелограмм? Какие его признаки?

Содержание:

Параллелограммом – 4-угольник, где противоположные стороны попарно параллельные, одинаковые по длине, а диагонали в точке пересечения делятся на равные отрезки. Изучим признаки параллелограмма по двум, четырём сторонам, внутренним углам, центру симметрии.

Что такое параллелограмм, свойства фигуры

Особенность высоты геометрической фигуры – отрезка, опущенного из любой точки многоугольника на противоположную ей сторону: отсекает от фигуры равнобедренный треугольник.

Свойства биссектрис – отрезков, делящих углы пополам:

У 4-угольника противоположные углы равны, а сумма прилегающих к одному отрезку составляет 180°.

Как доказать, что фигура параллелограмм

Признаки

Дан 4-угольник, где AB=CD, BC=AD. Доказать, что AB∥CD, BC∥AD.

Проведём диагональ BD. В итоге получим пару одинаковых треугольников, исходя из условий задачи и общего отрезка BD.

Отсюда вытекают равенства: ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 – подобные треугольники имеют одинаковые по величине углы, образованные подобными сторонами. Значит AB∥CD и BC∥AD (из свойства: если накрест расположенные углы равны, значит прямые будут параллельными).

В данном четырёхугольнике BC=AD, BC∥AD. Нужно доказать параллельность AB и CD для подтверждения, что это параллелограмм.

Исходя из условий, понимаем, что BCD и ABD – подобные треугольники. Из условия задачи: BC = AD, BD – общая для обоих, значит, ∠2 = ∠3 – следствие того, что накрест лежащие углы подобные. Из равенства 3-угольников: ∠1 = ∠4 получается, что AB параллельна CD.

Признаки параллелограмма по диагоналям с доказательством

Четырёхугольник обладает и прочими особенностями, рассмотрим одну на примере задачи: докажите признак параллелограмма по точке пересечения диагоналей.

Треугольник AOD равен BOC, потому что AD=BC – лежащие напротив стороны четырёхугольника. ∠1=∠2, ∠3=∠4 – они лежат накрест и параллельных прямых. Если треугольники подобные, значит: OC=OA, OB=OD.

Прочие способы как доказать параллелограмм

Получается, треугольник OAF равен OCE, потому что у них стороны AO = OC. Углы, расположенные у общей вершины O, также равны, ведь они вертикальные. ∠1=∠2 – следствие равности накрест лежащих при параллельных прямых углов. Как результат: OF=OE.

Если у четырёхугольника есть точка, которая обладает описанным свойством, её называют центром симметрии этой геометрической фигуры. Для рассматриваемого многоугольника центром симметрии является точка O, разделяющая диагонали на подобные отрезки.

При повороте геометрической фигуры вокруг центра симметрии на 180° она будет совмещена с предыдущим местоположением, ведь противоположные точки поменяются местами относительно оси симметрии.

Для проверки качества усвоения материала самостоятельно сформулируйте признаки параллелограмма без доказательств.

Источник