Как находятся точки экстремума

fashion 2309519 1920 Советы на день
Содержание
  1. Максимумы, минимумы и экстремумы функций
  2. Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
  3. Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
  4. Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
  5. В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.
  6. Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
  7. Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
  8. — Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.
  9. — Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус. — Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
  10. Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
  11. Понятие экстремума функции
  12. Необходимое условие экстремума
  13. Первое достаточное условие экстремума
  14. Второе достаточное условие экстремума
  15. Остались вопросы?
  16. Возрастание, убывание и экстремумы функции
  17. Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции
  18. Как найти интервалы возрастания, убывания, точки экстремума и экстремумы функции?
  19. Зачем исследовать функцию с помощью производной?
  20. необходимым условием экстремума:
  21. первое достаточное условие экстремума,

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

a6a6818f39ba0d93221821a18e83b172

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

a9b030acc89cfba87b050a65b6f76f0f

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

a6a6818f39ba0d93221821a18e83b172d5a62512f655c2424d13c4be7bc1b1ec

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

a9b030acc89cfba87b050a65b6f76f0f

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

3afc22edb06932713103afe2427f5369

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

61d51888467c1835332805ff984c2ea5

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

f1a166babbb260abcc209c556f1bbf3a

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

24e70b9be6803c31580e71c0c5e3f94f

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Источник

Понятие экстремума функции

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

(Необходимое условие экстремума)

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

(Первое достаточное условие экстремума)

Решение. Находим производную заданной функции:

formules 2078

Второе достаточное условие экстремума

(Второе достаточное условие экстремума)

Понятие экстремума функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Решение. Находим первую производную заданной функции:

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

Вторая производная заданной функции:

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в момент достижения им минимального или максимального показания. Под понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается значение функции (у).

Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами, максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и, наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются минимальные или максимальные значения.

Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений, приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки, прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и представляет собой точку ее минимума.

Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать следующим образом:

Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно переписать равенство в следующем виде:

Сократим данное уравнение на 4:

Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после перемены местами слагаемых:

Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:

Это же уравнение может выглядеть так:

Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:

В этом случае х = 1

Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.

После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является точкой минимума функции:

Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к поиску точки максимума для функции, указанной в задании.

Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:

Подставляем приведенные в задании значения и получаем:

Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся уравнение:

Упростим уравнение и получим:

Избавимся от минусов в уравнении:

Отсюда следует, что:

Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.

Запишем производную данной функции:

А затем приравняем ее к 0:

Это позволяет сделать вывод о том, что:

Получается, что, если x 3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.

x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой минимума.

Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не существует.

Для начала нужно определить, что под критической точкой функции подразумевается та точка, при пересечении с которой производная приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно дифференцировать.

Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:

Приравняем производную функции к 0:

f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.

sin2x= 3 2 не имеет решения

Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых х.

Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее производная равна 0 или вовсе не существует.

Источник

Возрастание, убывание и экстремумы функции

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче!

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image002. Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image004

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image006(выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image008, справедливо неравенство vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image010. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image002 0000растёт на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image012.

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image008 0000, справедливо неравенство vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image014. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image002 0001убывает на интервалах vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image016.

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image018в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image020во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности).

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума. Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image024и её стандартная vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image026— окрестность:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image028
Собственно, определения:

Точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image032называется точкой строгого максимума, если существует её vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image026 0000-окрестность, для всех значений vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image034которой за исключением самой точки vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image032 0000выполнено неравенство vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image037. В нашем конкретном примере это точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image039.

Точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image041называется точкой строгого минимума, если существует её vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image026 0000-окрестность, для всех значений vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image034 0000которой за исключением самой точки vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image032 0001выполнено неравенство vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image043. На чертеже – точка «а».

Примечание: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image045называют точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!):

Точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image041 0000называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image034 0001данной окрестности выполнено неравенство vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image047.
Точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image041 0001называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image034 0002данной окрестности выполнено неравенство vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image049.

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image051, к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image053или «принцессой болота» vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image055. Как разновидность, встречается остриё, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image057в точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059.

Да, кстати, о королевских особах:
– значение vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image053 0000называют максимумом функции;
– значение vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image055 0000называют минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image053 0001максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image055 0001минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума, а экстремумы – локальными экстремумами. Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Чайникам на первых порах рекомендую создать и осмыслить небольшой терминологический конспект, чтобы не путать Иран с Ираком.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы 😉

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной.

Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image061. Тогда:

– если производная vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image063на интервале, то функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image065возрастает на данном интервале;

– если производная vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image067на интервале, то функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image065 0000убывает на данном интервале.

Примечание: справедливы и обратные утверждения.

Пусть точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image032 0002принадлежит области определения функции vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image061. Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image133либо значения ekstremumy funkciiне существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть. Очень скоро мы рассмотрим необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Но сначала потренируемся на кошках разделаемся с простейшими примерами. Почин положен в конце теоретической статьи о производной, и на очереди другие жертвы анализа. Заодно есть возможность провести маленькое самотестирование – насколько хорошо вы запомнили, как выглядят графики жизненно важных функций? В тяжелом случае, конечно же, следует открыть первый урок на соседней вкладке и щёлкать туда-сюда по мере комментариев.

Производная кубической функции vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image022 0000неотрицательна:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image071для любого «икс».
Действительно, кубическая парабола идёт «снизу вверх». Бесконечно близко около точки vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059 0000скорость изменения функции равна нулю, о чём в рупор кричит производная: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image073. И вот вам, кстати, сразу пример, когда в критической точке нет максимума или минимума функции.

Функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image075обитает на промежутке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image077, а её производная неравенством vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image079однозначно показывает, что «корень из икс» строго растёт на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image081В критической точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059 0001функция определена, но не дифференцируема.
С геометрических позиций тут нет общей касательной. Однако в теории рассматриваются так называемые односторонние производные, и в указанной точке существует правосторонняя производная с правосторонней касательной. Желающие разобраться в этом подробнее могут покурить первый том матана.

Примечание: согласно информации первого параграфа, точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059 0002не является точкой минимума функции vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image075 0000(хотя «по понятиям» это вроде бы так). Дело в том, что определения точек максимума и минимума предполагают существование функции
и слева и справа от данных точек. Так же не считаются точками экстремума крайние значения области определения арксинуса и арккосинуса (см. ниже).

Стандартная гипербола vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image084идёт «сверху вниз», то есть данная функция убывает на всей области определения. Что и показывает её производная:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image086для любого «икс» кроме нуля.
Здесь, к слову, точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059 0003вообще не считается критической, так как функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image084 0000банально в ней не определена.

Экспоненциальная функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image088растёт на всей числовой прямой (для любого значения «икс» справедливо строгое неравенство vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image090). Исследуя же производную vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image092, легко сделать вывод, что функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image094наоборот – убывает на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image096.

Что делает натуральный логарифм vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image098сегодня вечером?
Растёт:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image100на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image081 0000.

Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image102и её производной vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image104. Там, где график косинуса находится над осью vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image006 0000, синус растёт. Обратно – где график vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image104 0000расположен ниже оси абсцисс, синус убывает. А в тех точках, где косинус пересекает ось (vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image108), синусоида vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image102 0000достигает минимума или максимума.

Аналогичная история с косинусом vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image110и его производной vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image112(второй кадр запечатлён в статье Геометрические преобразования графиков).

Производная тангенса vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image114несёт бодрую весть о том, что функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image116возрастает на всей области определения.

С котангенсом и его производной vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image118ситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image120растёт – производная здесь положительна: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image122.
При vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image124функция vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image126определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image128существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image130

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image041 0002есть экстремум, то vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image133либо значения ekstremumy funkciiне существует.

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image135ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image137. Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image022 0001и её критическая точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059 0004.

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image140:

vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image142

Получилось обычное квадратное уравнение:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image144

Положительный дискриминант доставляет две критические точки:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image146

Примечание: корни можно традиционно обозначить через vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image148, однако в ходе полного исследования функции удобнее обойтись без подстрочных индексов, так как они вносят лишние оговорки и путаницу

Итак, vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image150– критические точки

Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.

первое достаточное условие экстремума,

которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image137 0000. Тогда:

если при переходе через точку vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image137 0000производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

если при переходе через точку vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image137 0001производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image137 0002развернулся в противоположную сторону. Минимум.

Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции.

В рассматриваемом примере с непрерывностью на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image096всё тип-топ, поэтому работаем только с найдёнными критическими точками.

Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определения интервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь.

Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией!

Перед нами парабола vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image199, ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image154
I) Берём какую-нибудь точку интервала vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image156и находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059 0005:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image159, значит, производная отрицательна на всём интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image156 0000.

II) Выбираем точку vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image161, принадлежащую интервалу vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image163, и проводим аналогичное действие:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image165, следовательно, vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image167на всём интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image163 0000.

III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image169последнего интервала:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image171, поэтому vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image173в любой точке интервала vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image175.

В результате получены следующие знаки производной:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image177
Время собирать урожай!

На интервалах vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image179производная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image130 0000на данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image167 0000, значит, функция возрастает на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image163 0001, и её график идёт «снизу вверх».

При переходе через точку vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image181производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image183

При переходе же через точку vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image185производная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image187

Ответ: функции возрастает на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image163 0002и убывает на интервалах vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image179 0000. В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image181 0000функция достигает минимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image189, а в точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image185 0000– максимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image191

Остерегайтесь сокращенной записи vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image193. Под значками vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image195обычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум.

Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image197
Что произошло? На первом этапе мы нашли производную vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image199и критические точки vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image150 0000(в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image173 0000(парабола ниже оси) и vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image167 0001(парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.

Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-е достаточное условие, однако для исследования функций оно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах.

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image202: «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image204…Итак, решение нашего уравнения: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image206– именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции. Поэтому повысим степень:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image208

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Исследовать функцию с помощью первой производной
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image210

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image124 0000.

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image212

Решим уравнение vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image140 0000. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image215

Таким образом, получаем три критические точки:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image217

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image220
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image222и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image224, принадлежащую интервалу vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image226, и выполним подстановку: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image228.
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image230
Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image232, а значит, производная отрицательна и на всём интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image226 0000.

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image234и знаменатель vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image236строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image210 0000возрастает на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image238и убывает на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image240. Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image242.

В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image244функция достигает максимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image246
В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image248функция достигает минимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image250

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение 😉

При переходе через точку vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059 0006производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image124 0001не считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image238 0000и убывает на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image240 0000В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image244 0000достигается максимум функции: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image254, а в точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image256– минимум: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image258.

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image210 0001есть две вертикальные асимптоты vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image124 0002и наклонная асимптота vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image260. Вот наш герой:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image262
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059 0007экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Найти экстремумы функции
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image002 0002

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image004

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается.
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Как отмечалось, в ходе выполнения задания всегда нужно внимательно следить за точками разрыва и интервалами, которые не входят в область определения функции. Казус состоит в том, что иногда производная может существовать на таких участках! Простейший пример: производная натурального логарифма vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image006 0001определена на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image008 0001, но сам логарифм – нет. Интервалы, которые не входят в область определения функции, НЕЛЬЗЯ рассматривать и у производной!

Типичный барьерный риф:

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image010 0000

Приближаю оформление к боевым условиям и прекращаю нумерацию пунктов алгоритма.

Решение: в Примере 11 статьи об интервалах знакопостоянства была найдена область определения данной функции: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image012 0000, знание которой КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО учитывать в нашей задаче:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image014 0000

Вроде бы всё хорошо: у нас есть корень vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image016 0000и крайние точки области определения:vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image018 0000.

Но производная проявила своеволие – она в отличие от свого родителя определена и на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image020 0000. Более того, точка vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image016 0001(не критическая. ;)) вошла в этот нехороший интервал! Что делать? Мама всегда права, поэтому определяем знаки производной только на интервалах области определения функции:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image022
Функция убывает на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image024 0000и возрастает на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image026 0001. Точки экстремума (и, понятно, экстремумы) ОТСУТСТВУЮТ. Значение vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image016 0002осталось не при делах, так как на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image020 0001попросту нет графика функции vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image010 0001.

Ответ: функция убывает на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image024 0001и возрастает наvozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image026 0002, экстремумы отсутствуют.

Будьте очень внимательны, если вам встретится логарифм или корень – в подобных примерах просто необходимо увАжить область определения функции!

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image028

Это приятный разгрузочный пример для самостоятельного решения.

И заключительный пример посвящен другому приключению непослушной дочери:

Найти точки экстремума функции
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image030 0000

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Найдём критические точки:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image032 0003

На всякий случай детализирую преобразования знаменателя:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image034 0003, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом, vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image036– критические точки. Почему значения vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image044, обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам? А дело в том, что САМА-ТО ФУНКЦИЯ в них определена! Ситуация необычна, но клубок распутывается по стандартной схеме.

Определим знаки производной на полученных интервалах:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image038
Функция возрастает на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image040и убывает на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image042.

В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image046функция достигает минимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image048.
В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image050функция достигает максимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image052.
В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image054нет экстремума.

Ответ: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image046 0000– точка минимума, vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image050 0000– точка максимума

По условию требовалось найти точки экстремума и что-то добавлять излишне. Но в решении как бы невзначай вычислены и сами экстремумы 😉

Давайте посмотрим на на эту оригинальную картину:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image056
В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image046 0001– классическое остриё, направленное вниз, при vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image050 0001– «нормальный» максимум. В точках vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image044 0000функция не дифференцируема, однако в них существуют бесконечные производные и вертикальные касательные (см. теорию производной).

. да, родители и дети бывают разными. Но мама права в 95% случаев с погрешностью vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image059 0008. Я проводил статистическое исследование.

Пример 2: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Найдём критические точки:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image061 0000
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image063 0000– критическая точка.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image065
Ответ: функция убывает на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image067 0000и возрастает на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image069. В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image063 0001функция достигает минимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image071 0000

Пример 4: Решение:

1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image050 0002.
2) Найдём критические точки:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image073 0000
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image046 0002, vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image079 0000– критические точки.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image077
В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image079 0000функция достигает минимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image081 0001.
В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image046 0002экстремум отсутствует.

Ответ: в точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image079 0001функция достигает минимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image085
Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции

Пример 5: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image046 0002.

2) Найдём критические точки:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image087
Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image097– критическая точка.
3) Определим знаки производной:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image091
Ответ: функция возрастает на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image093и убывает на vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image095. В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image097она достигает максимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image099

Пример 7: Решение:

Область определения: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image081.
Найдём критические точки:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image101
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image103– критическая точка.
Определим знаки производной:
vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image105
Ответ: функция убывает на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image107и возрастает на интервале vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image109В точке vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image111функция достигает минимума: vozrastanie ubyvanie ekstremumy funkcii clip image113

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector