Как найти дополнение множества

2.4. Дополнение множеств. Мощность множеств

Если универсальное множество не указано или оно не ясно из контекста, то говорить о дополнении множества А недопустимо.

На диаграммах Эйлера универсальное множество I изображается множеством точек некоторого прямоугольника, а его подмножества – в виде кругов внутри этого прямоугольника. Дополнение множества А будет изображено в таком случае той частью прямоугольника, которая лежит за пределами круга (заштрихованная часть рис.2.11).

Для любых подмножеств А и В универсального множества I справедливы следующие утверждения:

1) = А ;

4) А È ( А Ç B )= А, А Ç ( А È B )= А – законы поглощения;

Пусть существует два конечных множества А и В, количество элементов которых N ( A ) и N ( В). Тогда

Эта формула называется формулой включений и исключений и позволяет решать многие задачи теории множеств.

Из (2.4) следует, что если множества А и В не пересекаются, то

Для пересекающихся множеств А и В

N ( A ) + N (В) + N (С) – N (А Ç В) – N ( B Ç C ) – N (А Ç C ) + N (А Ç В Ç C ).

N ( A ) + N (В) + N (С).

В том случае, когда универсальное для рассматриваемых подмножеств множество I также является конечным, то

N ( I ) – N (А) ;

N ( I ) – N (А È В)= N ( I ) – N ( A ) – N (В) + N (А Ç В).

N ( I ) – N ( A ) – N (В) – N (С) + N (А Ç В)+ N ( B Ç C ) + N (А Ç C )- N (А Ç В Ç C ).

Пример 2.5. В 101 группе – 29 студентов. Каждый из них изучает или английский, или немецкий язык. 5 студентов изучает и английский, и немецкий одновременно. Сколько студентов занимаются в английской группе, если в немецкой – 12 студентов.

Итак N ( А Ç В Ç С Ç D ) ³ 10, т.е. не менее 10 пиратов одновременно лишились и глаза, и уха, и руки, и ноги.

Если каждому элементу множества А можно по некоторому правилу поставить в соответствие один и только один элемент множества В и, наоборот, каждому элементу множества В по некоторому правилу можно поставить в соответствие один и только один элемент множества А, то говорят, что между элементами множеств А и В установлено взаимно-однозначное соответствие. В этом случае множества А и В называют эквивалентными и записывают: А

Очевидно, что равночисленные множества эквивалентны. И, наоборот, два эквивалентных конечных множества равночисленны.

Этот факт является логически чрезвычайно важным, так как для установления равночисленности конечных множеств нет необходимости обладать понятием натурального числа, с помощью которого мы подсчитываем элементы множеств. Напротив, теперь само понятие натурального числа получает новую трактовку: оно есть количественная характеристика, общая всем эквивалентным между собой конечным множествам. Теперь можно, пользуясь только понятиями «множество», «принадлежность», « взаимно-однозначное соответствие» построить всю теорию натуральных чисел.

Рассмотрим теперь бесконечные множества. Для сравнения бесконечных множеств нельзя использовать понятие натурального числа, ибо нельзя пересчитать все элементы таких множеств и поставить им в соответствие натуральное число. Однако их можно сравнивать при помощи понятий « взаимно-однозначное соответствие», «эквивалентность».

N и множество целых отрицательных чисел является счетным.

Если для конечных эквивалентных множеств мы говорили, что они равночисленны, то о бесконечных множествах будем говорить, что они равномощны, т.е. имеют одинаковую мощность. Все эквивалентные бесконечные множества характеризуются их мощностью.

Понятие мощности бесконечного множества аналогично понятию числа конечного множества. Мощность – обобщение понятия «количество» для бесконечных множеств. Оно позволяет сравнивать различные бесконечные множества.

Источник

Как найти дополнение множества

Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.

Объединение X и Y обозначается через X∪Y

Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y

Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то

X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.

представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.

Для объединенных множеств справедливы:

справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов.

Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.

2. Пересечение множеств

Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.

Пересечение множеств обозначается X∩Y.

Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y

Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.

Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.

Частный случай: кортеж длины 1 —

кортеж длины 0 — или ∧ — пустой кортеж.

Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.

Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.

Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):

Пример. Слова в предложении,

Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y.

Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б).

Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е.

Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅.

Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств

M s =M*M*. *M, M 1 =M, M 0 =∧.

Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R 2 =R*R — вещественная плоскость и R 3 =R*R*R — трехмерное вещественное пространство.

Проекция множества.

Операция программирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Пусть M — множество, состоящее из кортежей длины S. Тогда пролинией множества M будем называть множество пролиний всех кортежей из М

Очевидно что если М=Х*Y то Пр₁М=Х, Пр₂М=Y

и если Q⊆Х*Y то Пр₁Q⊆Х и Пр₂Q⊆Y

Пусть V — множество векторов одинаковой длины S.

В общем случае Пр_iV — вовсе не обязательно прямое произведение: оно может быть подмножеством.

Источник

Дополнение множества

Дополне́ние в теории множеств — это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству.

Содержание

Разность множеств

Определение

Примеры

Свойства

Пусть A,B,C — произвольные множества. Тогда

Компьютерные реализации

Дополнение множества

Определение

Свойства

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Дополнение множества» в других словарях:

Дополнение (теория множеств) — Дополнение в теории множеств это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству. Содержание 1 Разность множеств 1.1 Определение 1.2 Примеры 1.3 Свойства … Википедия

Дополнение (математика) — Дополнение в теории множеств это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству. Содержание 1 Разность множеств 1.1 Определение 1.2 Примеры 1.3 Свойства … Википедия

ДОПОЛНЕНИЕ — операция, к рая ставит в соответствие подмножеству Мданного множества Xдругое подмножество так, что если известны Ми N, то тем или иным способом может быть восстановлено множество X. В зависимости от того, какой структурой наделено множество X,… … Математическая энциклопедия

Дополнение графа — Граф Петерсена (слева) и его дополнение (справа). В теории графов дополнением или обратным к графу G называется такой граф H, имеющий то же множество вершин, что и G, но в котором две несовпадающие вершины смежны тогда и только тогда, когда они… … Википедия

дополнение к множеству — такое множество не А, когда A + не А = 1, где 1 обозначает некоторую предметную область (универсальный класс). Пусть A будет множеством млекопитающих, а областью нашего рассуждения будет множество позвоночных животных. Тогда дополнением к нему… … Словарь терминов логики

ДИЗЪЮНКТНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ — множества А множество всех элементов х векторной решетки (векторной структуры) X, дизъюнктных множеству (см. Дизъюнктные элементы). кроме того, если X векторная условно полная решетка, то Add является наименьшей компонентой пространства X,… … Математическая энциклопедия

Плотные и неплотные множества — понятия множеств теории (См. Множеств теория). Множество Е называется плотным на М, если каждая точка множества М является предельной точкой (См. Предельная точка) Е, т. е. в любой окрестности имеются точки, принадлежащие Е. Плотные… … Большая советская энциклопедия

Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… … Википедия

КАТЕГОРИЯ МНОЖЕСТВА — топологическая характеристика массивности множества. Множество Етопологич. пространства Xназ. множеством первой категории на X, если оно представимо в виде конечной или счетной суммы множеств, нигде не плотных на X. В противном случае Еназ.… … Математическая энциклопедия

Существование перечислимого неразрешимого множества — В данной статье будет доказан теорема о существовании перечислимого, но неразрешимого множества. Напомню, что по теореме Поста перечислимое множества разрешимо тогда и только тогда, когда его дополнение перечислимо.Основные определения, такие как … Википедия

Источник

Дополнение (теория множеств)

Дополне́ние в теории множеств — это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству.

Содержание

Разность множеств

Определение

Примеры

Свойства

Пусть A,B,C — произвольные множества. Тогда

Компьютерные реализации

Дополнение множества

Определение

Свойства

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Дополнение (теория множеств)» в других словарях:

Теория множеств — Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой… … Википедия

Наивная теория множеств — Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… … Википедия

Описательная теория множеств — Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… … Википедия

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел теории множеств, изучающий внутреннее строение множеств в зависимости ют тех операций, при помощи к рых эти множества могут быть построены из множеств сравнительно простой природы (напр., замкнутых или открытых подмножеств данного… … Математическая энциклопедия

Алгебра (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение … Википедия

РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел тео рии рекурсивных функций, в к ром рассматриваются и классифицируются подмножества натуральных чисел с алгоритмич. точки зрения, а также исследуются структуры, возникающие в результате такой классификации. Для каждого множества А, к рое… … Математическая энциклопедия

Принцип двойственности (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Принцип двойственности. Принцип двойственности в абстрактной теории множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств А, В, С и т. д. Справедливо следующее предложение:… … Википедия

Дополнение — В Викисловаре есть статья «дополнение» Дополнение может означать … Википедия

Теория моделей — Теория моделей раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория … Википедия

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — Под множеством понимается совокупность каких либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов.… … Энциклопедия Кольера

Источник

Дополнение

В случаях, когда одно из множеств является подмножеством другого, А \ В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В’_А

Пусть В А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В. В А, А \ В = В‘_А,В‘_А= <х| х А и х В>.

Часто ограничиваются рассмотрением всевозможных подмножеств одного и того же множества, которое в этом случае называют основным или универсальным множеством. Обозначим основное множество буквой E. Для любого множества А, принадлежащего основному множеству Е, справедливы равенства: А U Е = Е, А ∩ Е = А.

Множество элементов основного множества Е, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А до множества Е или просто дополнением и обозначается А’.

Объединение множества А и его дополнения А’ есть основное множество: А U А’ = E.

Пересечение множества со своим дополнением пусто: А ∩ А‘ = Ø.

Дополнение пустого множества есть основное множество: Ø’ = E, а дополнение основного множества пусто: Е’ = Ø.

На рисунке основное множество Е схематически изображено в виде прямоугольника, его подмножество А заштриховано, не заштриховано дополнение множества А’.

Источник