Как называется обратная гипербола

woman 1828538 1920 Советы на день
Содержание
  1. обратная гипербола
  2. Смотреть что такое «обратная гипербола» в других словарях:
  3. обратная гипербола
  4. Смотреть что такое «обратная гипербола» в других словарях:
  5. Обратная пропорциональность. Гипербола
  6. Обратная пропорциональность — коротко о главном
  7. График обратной пропорциональности
  8. На что влияют коэффициенты
  9. Гипербола (математика)
  10. Содержание
  11. История
  12. Определения
  13. Коническое сечение
  14. Как геометрическое место точек
  15. Через фокусы
  16. Через директрису и фокус
  17. Связанные определения
  18. Соотношения
  19. Типы гипербол
  20. Гиперболы, связанные с треугольником
  21. Уравнения
  22. Декартовы координаты
  23. Канонический вид
  24. Полярные координаты
  25. Уравнения в параметрической форме
  26. Свойства
  27. Асимптоты
  28. Диаметры и хорды
  29. Касательная и нормаль
  30. Кривизна и эволюта
  31. Применения
  32. См. также
  33. Примечания
  34. Литература
  35. Полезное
  36. Смотреть что такое «Гипербола (математика)» в других словарях:

обратная гипербола

Смотреть что такое «обратная гипербола» в других словарях:

обратная гипербола — ОБРА´ТНАЯ ГИПЕ´РБОЛА то же, что литота … Поэтический словарь

гипербола — ы, ж., лит. Образное выражение, чрезмерное преувеличение тех или иных свойств изображаемого предмета или явления. Примеры гипербол: вино лилось рекой (И. Крылов); в сто сорок солнц закат пылал (Маяковский). Родственные слова: гиперболи/ческий… … Популярный словарь русского языка

гипербола — ГИПЕ´РБОЛА (греч. ὑπερβολή излишек, преувеличение) стилистическая фигура, образное выражение, преувеличивающее какое либо действие, предмет, явление; употребляется в целях усиления художественного впечатления. Конечно, гиперболическое выражение… … Поэтический словарь

ГИПЕРБОЛА — (hyperbola) Функция, которая может быть выражена как отношение двух линейных функций. Гипербола в прямоугольной системе координат имеет вид у=(α+βх)/(γ+δ х). Эта функция непрерывна, за исключением случая, х =–γ/δ; когда она ведет себя как… … Экономический словарь

Обратная пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… … Википедия

литота — ЛИТО´ТА (от греч. λιτότης простота) 1) стилистическая фигура, определение какого либо понятия или предмета путем отрицания противоположного. Таковы, например, бытовые Л.: «он неглупый», вместо «он умный», «это неплохо написано» вместо «это хорошо … Поэтический словарь

литота — сущ., кол во синонимов: 5 • обратная гипербола (1) • прием (124) • троп (15) • … Словарь синонимов

Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора

МЕТОД ВЕРБАЛЬНОЙ МИФОЛОГИЗАЦИИ ЛИЧНОСТИ — Основан на суггестивной лингвистике (разделе психолингвистики), разработан И. Ю. Черепановой (1987 1998 гг.). Представляет собой лингвистический обучающий тренинг, проводящийся в малой группе. Участники тренинга получают системные знания… … Психотерапевтическая энциклопедия

Прямая пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… … Википедия

Источник

обратная гипербола

Смотреть что такое «обратная гипербола» в других словарях:

обратная гипербола — сущ., кол во синонимов: 1 • литота (5) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

гипербола — ы, ж., лит. Образное выражение, чрезмерное преувеличение тех или иных свойств изображаемого предмета или явления. Примеры гипербол: вино лилось рекой (И. Крылов); в сто сорок солнц закат пылал (Маяковский). Родственные слова: гиперболи/ческий… … Популярный словарь русского языка

гипербола — ГИПЕ´РБОЛА (греч. ὑπερβολή излишек, преувеличение) стилистическая фигура, образное выражение, преувеличивающее какое либо действие, предмет, явление; употребляется в целях усиления художественного впечатления. Конечно, гиперболическое выражение… … Поэтический словарь

ГИПЕРБОЛА — (hyperbola) Функция, которая может быть выражена как отношение двух линейных функций. Гипербола в прямоугольной системе координат имеет вид у=(α+βх)/(γ+δ х). Эта функция непрерывна, за исключением случая, х =–γ/δ; когда она ведет себя как… … Экономический словарь

Обратная пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… … Википедия

литота — ЛИТО´ТА (от греч. λιτότης простота) 1) стилистическая фигура, определение какого либо понятия или предмета путем отрицания противоположного. Таковы, например, бытовые Л.: «он неглупый», вместо «он умный», «это неплохо написано» вместо «это хорошо … Поэтический словарь

литота — сущ., кол во синонимов: 5 • обратная гипербола (1) • прием (124) • троп (15) • … Словарь синонимов

Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора

МЕТОД ВЕРБАЛЬНОЙ МИФОЛОГИЗАЦИИ ЛИЧНОСТИ — Основан на суггестивной лингвистике (разделе психолингвистики), разработан И. Ю. Черепановой (1987 1998 гг.). Представляет собой лингвистический обучающий тренинг, проводящийся в малой группе. Участники тренинга получают системные знания… … Психотерапевтическая энциклопедия

Прямая пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… … Википедия

Источник

Обратная пропорциональность. Гипербола

Сейчас мы будем говорить об обратной пропорциональности, или другими словами об обратной зависимости, как о функции.

Мы закрепим понятие функции и научимся работать с коэффициентами и графиками.

А еще мы разберем несколько примеров построения графика функциигиперболы.

Обратная пропорциональность — коротко о главном

Определение:

Функция, описывающая обратную пропорциональность, – это функция вида \( \displaystyle y=\frac+b \), где \( k\ne 0\), \( x\ne 0\) и \( x\ne а\)

По-другому эту функцию называют обратной зависимостью.

Область определения и область значений функции:

График обратной пропорциональности (зависимости) – гипербола.

Коэффициент \( \displaystyle k\)

\( \displaystyle k\) – отвечает за «пологость» и направление графика. Чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).

Знак коэффициента \( \displaystyle k\) влияет на то, в каких четвертях расположен график:

если \( \displaystyle k>0\), то ветви гиперболы расположены в \( \displaystyle I\) и \( \displaystyle III\) четвертях;

если \( \displaystyle k

Коэффициент \( \displaystyle a\)

Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что \( \displaystyle a\) – это такое число, которому не может равняться \( \displaystyle x\).

То есть \( x=a\) – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график функции

Коэффициент \( b\)

Число \( b\) отвечает за смещение графика функции вверх на величину \( b\), если \( b>0\), и смещение вниз, если \( b

Пример 2

Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»).

Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения: \( \displaystyle <^<2>>+4-5=0\).

Я найду их устно с помощью теоремы Виета: \( \displaystyle <_<1>>=-5\), \( \displaystyle <_<2>>=1\). Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения».

Итак, получаем: \( \displaystyle <^<2>>+4-5=\left( x+5 \right)\left( x-1 \right)\), следовательно:

Пример 3

Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка?

Наверняка в том, что в числителе у нас \( \displaystyle 2x\), а в знаменателе – просто \( \displaystyle x\).

Это не беда. Нам нужно будет сократить на \( \displaystyle \left( x+2 \right)\), поэтому в числителе следует вынести \( \displaystyle 2\) за скобки (чтобы в скобках \( \displaystyle x\) получился уже без коэффициента):

Ответ: \( \displaystyle y=2-\frac<5>\).

График обратной пропорциональности

Как всегда, начнем с самого простого случая: \( \displaystyle y=\frac<1>\).

Таблица обратной пропорциональности (зависимости)

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Теперь их надо плавно соединить, но как?

Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть.

Это график гиперболы и выглядит он так:

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом.

Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям \( \displaystyle Ox\) и \( \displaystyle Oy\), но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Оно и понятно: так как \( \displaystyle x\ne 0\), график не может пересекать ось \( \displaystyle Oy\). Но и \( \displaystyle y\ne 0\), так что график никогда не коснется и оси \( \displaystyle Ox\).

Ну что же, теперь посмотрим на что влияют коэффициенты.

На что влияют коэффициенты

Рассмотрим такие функции:

Ух ты, какая красота!

Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь?

Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси \( \displaystyle Ox\).

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например, \( \displaystyle y=\frac<1>+2\)?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная \( \displaystyle y=\frac<1>\), только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен \( x\)? Правильно, \( x\ne 1\). Значит, график никогда не достигнет прямой \( x=1\).

А чему не может быть равен \( y\)? Теперь \( y\ne 2\). Значит, теперь график будет стремиться к прямой \( y=2\), но никогда ее не пересечет.

Итак, теперь прямые \( x=1\) и \( y=2\) выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции \( \displaystyle y=\frac<1>\).

Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим чуть позже.

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления.

Примеры

1. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac\). Определите \( k\).

2. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac\). Определите \( k\)

3. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac<1>\). Определите \( a\).

4. На рисунке изображен график функции \( \displaystyle y=\frac<1>+a\). Определите \( a\).

5. На рисунке приведены графики функций \( \displaystyle y=\frac,\text< >y=\frac\) и \( y=\frac\).

Источник

Гипербола (математика)

150px Giperbola

magnify clip

220px Hyperbola %28PSF%29

magnify clip

220px Hyperbool

magnify clip

78f72b3af94cb6a8d6e66f3df1314183

893d64c324eba3e0ce07e7484a652de0причем 08f7754f6d675b73add7604e57e8d1502a > 0.» border=»0″/>

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

Содержание

История

Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Определения

Гипербола может быть определена несколькими путями.

Коническое сечение

300px Conic sections 2

magnify clip

Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающееся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

Как геометрическое место точек

Через фокусы

Гипербола может быть определена, как Геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Для сравнения: кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.

Через директрису и фокус

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная 5ba93fe92eb310f4b30fc21187b082bb1″ border=»0″/> называется эксцентриситетом гиперболы.

Связанные определения

300px Hyperbola properties.svg

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F1 и F2. Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D1 и D2. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зелёным). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Параметры гиперболы обозначают следующее:

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра, опущенного из каждой из вершин на асимптоты
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F1 и F2,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами

Соотношения

Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям

Типы гипербол

250px Giperbola ravnoboch

magnify clip

Гиперболу, у которой 7acaac15494e6820b1ed6d8b539af089, называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

f29908927865ae959e9857d3bb306620

при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).

Гиперболы, связанные с треугольником

Уравнения

Декартовы координаты

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

eb4431b9bc717ede3e1b97f7662f9169,

f701464432a900d56e1eb0e8fd5ed69d

7cee73e9efedfeaf6cc604a938497359

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

060d395b7c21e5e9fababec22e59ddfe,

Полярные координаты

220px Hyperbola polar coordinates.svg

magnify clip

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

52b60e37b1397123a24f44a86f9f231d

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

4fd18e83343024f313f4ff629d97cde6

220px Hyperbola parametrized.svg

magnify clip

Уравнения в параметрической форме

52229f325883e73733afd2dc26670bf0

В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «-» — её левой ветви.

Свойства

Асимптоты

220px Drini conjugatehyperbolas

magnify clip

Для гиперболы, заданной в каноническом виде

05b577ef6862a1129098c692387b688a

уравнения двух асимптот имеют вид:

892da947163ea930cc5ea0fca8bc868f.

Диаметры и хорды

250px Hyperb

magnify clip

Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент bff2e94865b44c361e46c4beb2b040feпараллельных хорд и угловой коэффициент 48d7c26a226ad58c89fe1cf2cf360612соответствующего диаметра связан соотношением

753bdd952183f2bd89dac3ede4737389

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взаимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

250px Finding center of hyperbola

magnify clip

Касательная и нормаль

Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x0, y0) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:

df44a4810409763af850536b58639b45,

или, что то же самое,

9b327db2c9b53352988948b03b840aa0.

Уравнение касательной произвольной плоской линии имеет вид

dfd88f0bc6f989a57e8bad338a23c8c2

Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций

13f29dd2f461186d3b627f3344d7b32a.

Тогда производная этих функций имеет вид

e873a617096118a4b6fc3b1ae550fd12.

Подставив это уравнение в общее уравнение касательной, получим

55859ccff1e1f35096d7dd13a920de57 56b67541cb388de0a903d85848f45784

Вывод уравнения касательной

Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:

4df913ce5590cbb949b5a6adb3687dee.

Уравнение нормали произвольной плоской линии имеет вид

4be1fb040824e27957db4f64a92e763c.

Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций

13f29dd2f461186d3b627f3344d7b32a.

Тогда производная этих функций имеет вид

e873a617096118a4b6fc3b1ae550fd12.

Подставив это уравнение в общее уравнение нормали, получим

d07968a6a9d0e66d1013169a15e2ef6e.

Вывод уравнения нормали

Кривизна и эволюта

350px Hyperbola and evoluta.svg

magnify clip

Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения:

ba50023da82003bed71fff222586f560.

Соответственно, радиус кривизны имеет вид:

8a2f2804bb3603d91b214ba41cd5f929.

В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен

639b82bb1cf1f143ff0eee312aaaad79.

Формула для радиуса кривизны плоской линии, заданной параметически, имеет вид:

5bda691781f9dabce0b97434d0b5e725.

Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы:

ef0cf46a5cddffd9d48f2e18c32cfd94

Тогда, первая производная x и y по t имеет вид

1382e45007aa241ea645df5a4076a50d,

a84fa86bfb0d8b0b0a360e32a5553065

Подставляя эти значения в формулу для кривизны получаем:

322b0b2ae724ef67c1d4af0de1695e35.

Вывод формулы для радиуса кривизны

Координаты центров кривизны задаются парой уравнений:

6de7333598488278858ce3f969161ab0

Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы.

135375acf860302311c2831b9add1499

250px Elliptical coordinates grid.svg

magnify clip

Применения

См. также

Примечания

Литература

Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)

14px Searchtool.svg Конические сечения
Главные типы Эллипс • Гипербола • Парабола
Вырожденные Точка • Прямая • Пара прямых
Частный случай эллипса Окружность
Геометрическое построение Коническое сечение • Шары Данделена
См. также Коническая константа
Математика • Геометрия

Полезное

Смотреть что такое «Гипербола (математика)» в других словарях:

Гипербола — В Викисловаре есть статья «гипербола» Гипербола (из др. греч … Википедия

Равнобочная гипербола — Гипербола и её фокусы Гипербола геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно, то есть | | F1M | − | F2M | | = C… … Википедия

Эксцентриситет (математика) — Эллипс (e=1/2), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом F и директрисой. (|FM| = e |MM |) Эллипс и его e = 1 / 2 Эксцентриситет (обозначается “e” или “ε”) числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его… … Википедия

Путь (математика) — Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана … Википедия

Пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия

Прямая пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… … Википедия

Обратная пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… … Википедия

Коническое сечение — Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса) … Википедия

Конические сечения — Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс,… … Википедия

Фокус (в математике) — Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс,… … Википедия

Источник

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector