Как описать свойства функции

three 3075752 1920 Советы на день

Свойства функции

www chudetstvo ru ava sovetskie multy 216В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое числовая функция и какие свойства функции необходимо знать и уметь исследовать.

Что такое числовая функция? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y. %D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F3

Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией.

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3называется уравнением функции. В этом уравнении quicklatex.com 4ec8d3fee12d10b3855b33535cb75c7e l3независимая переменная, или аргумент функции. quicklatex.com 45a49b291744d497b47a3c22cff46118 l3зависимая переменная.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя свойства функции мы можем построить ее график.

Основные свойства функций.

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения quicklatex.com 8203ebb370a40451e2ce0a21cd8a84ed l3.

Чтобы по графику функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции Е(y)— это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

Чтобы найти нули функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3, нужно решить уравнение quicklatex.com 3cb8a4078180af06c6730246838e1401 l3. Корни этого уравнения и будут нулями функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3.

Чтобы найти нули функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3.

4. Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3— это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть quicklatex.com 0c04ee73b94aab6bdfd7bcffc2c8e75b l3или quicklatex.com 7a95e131f84abed3de266678684ed194 l3.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3, нужно решить неравенства quicklatex.com 0c04ee73b94aab6bdfd7bcffc2c8e75b l3и quicklatex.com 7a95e131f84abed3de266678684ed194 l3.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3по ее графику, нужно

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3— это такие промежутки значений аргумента х, при которых функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3возрастает или убывает.

Говорят, что функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента quicklatex.com 84bb2d07e18f67657a3b5122f0268542 l3, принадлежащих промежутку I таких, что quicklatex.com 166c21e89e00899d3ad157a212761a92 l3выполняется соотношение: quicklatex.com 8caf0ab6cb6d0576ac447dea1f0756a4 l3.

Другими словами, функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента quicklatex.com 84bb2d07e18f67657a3b5122f0268542 l3, принадлежащих промежутку I таких, что quicklatex.com 166c21e89e00899d3ad157a212761a92 l3выполняется соотношение: quicklatex.com e078d72671e6a1d6cf5228ceb9b12d85 l3.

Другими словами, функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Чтобы по графику функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка quicklatex.com c65e704cfa91277743c256a4cd7ede7b l3называется точкой максимума функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3, если существует такая окрестность I точки quicklatex.com c65e704cfa91277743c256a4cd7ede7b l3, что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

quicklatex.com 40c9ce7217c17b2c02331d0f1faa9abb l3.

Графически это означает что точка с абсциссой x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка quicklatex.com c65e704cfa91277743c256a4cd7ede7b l3называется точкой минимума функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3, если существует такая окрестность I точки quicklatex.com c65e704cfa91277743c256a4cd7ede7b l3, что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

quicklatex.com 62d4eb004cbdf98b24e32b3fa3b98111 l3

Графически это означает что точка с абсциссой quicklatex.com c65e704cfa91277743c256a4cd7ede7b l3лежит ниже других точек из окрестности I графика функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3.

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

7. Четность (нечетность) функции.

Функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента quicklatex.com 4ec8d3fee12d10b3855b33535cb75c7e l3, принадлежащего области определения функции, quicklatex.com 1a908a2674cf0816a0ff146d005899f3 l3также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения четной функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3симметрична относительно начала координат.

б) Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение quicklatex.com 1552f78b934dde4b796bc6935231b8c1 l3.

Функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента quicklatex.com 4ec8d3fee12d10b3855b33535cb75c7e l3, принадлежащего области определения функции, quicklatex.com b838b4af51e7dca36f227f4acfd108bb l3также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции quicklatex.com 15bf8c1fedf331345a3319007279264e l3симметрична относительно начала координат.

б) Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение quicklatex.com d20d8d589a0a734414d95b9ec507a1fd l3.

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

а). Найти область определения функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3, и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например, число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3— функция общего вида.

Если область определения функции quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3— симметричное множество, то проверяем п. б)

Если quicklatex.com 1552f78b934dde4b796bc6935231b8c1 l3, то функция четная.

Если quicklatex.com d20d8d589a0a734414d95b9ec507a1fd l3, то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3— общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция quicklatex.com 5a6d8f52dcd44e151e94d5e090e1b8a7 l3называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я рассказываю, как определить свойства функции по ее графику.

Источник

Как описать свойства функции

Функция

36 008

Область определения

Вершина параболы

36 009

Нули функции

36 010

Экстремумы

если a 0, то максимум в вершине

Область значений

36 011

36 012

Четность

ни четная, ни нечетная

Функция

36 013 36 014

Область определения

Область значений

Четность

Нули функции

Экстремумы

х = 0 — точка минимума

Монотонность

возрастает при х ϵ R

при х ≤ 0 убывает
при х > 0 возрастает

Функция

36 017 36 018

Область определения

Область значений

Четность

Нули функции

Экстремумы

Монотонность

Функция

36 020

36 021

Область определения

36 022

36 023

Область значений

36 024

36 024

Нули функции

Экстремумы

Монотонность

возрастает при х ϵ D(f)

возрастает при х ϵ D(f)

Функция

Область определения

Область значений

Нули функции

Экстремумы

Монотонность

убывает при х ϵ D ( f )

возрастает при х ϵ D ( f )

Функция

Область определения

Область значений

Нули функции

Экстремумы

Монотонность

убывает при х ϵ D ( f )

возрастает при х ϵ D ( f )

Функция

Область определения

Область значений

Нули функции

36 036

36 029

Четность

Периодичность

36 037

36 037

Экстремумы

36 030

36 031

Монотонность

36 032

36 033

36 034

36 035

Функция

Область определения

R кроме 36 039

R кроме 36 040

Источник

Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.

теория по математике 📈 функции

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

9

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

1На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

7

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

2

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

4

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

5

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Источник

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector