Как описать свойства параболы

young woman 731142 1920 Советы на день

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87, где math 993.5 cc6a63e93e5ff274af317b91534ec7730″ title=»a<>0″/> math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции math 993 47789cbeeab10cf0c18192db4c9212b8имеет вид:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент math 993.5 d468252624f2ac4506675738576ea280, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции math 993 47789cbeeab10cf0c18192db4c9212b8при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции math 993 03a497380394a1b75c29399da7832d47имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции math 993 03a497380394a1b75c29399da7832d47симметричен графику функции math 993 47789cbeeab10cf0c18192db4c9212b8относительно оси ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции math 991.5 5b0b35d5bb106720e16ba255d85d33f9с осью ОХ, нужно решить уравнение math 991.5 5a6dca296f98fd9d18dda17d46bfc04e.

В случае квадратичной функции math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87нужно решить квадратное уравнение math 993 00ba2f8841f4bdc479af1d446e2c7ef8.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: math 993 7a6401eabb4cb9744eca88bad449c0c2, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если math 993.5 8c6a8d90ae64ad0ead4db025150c2bd2math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то уравнение math 993 00ba2f8841f4bdc479af1d446e2c7ef8не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если math 993.5 7de659547465976dccd906eabb92337e0″ title=»a>0″/>math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то график функции выглядит как-то так:

2. Если math 993.5 dc4120765dac77ed7c319cfcd9420c38math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то уравнение math 993 00ba2f8841f4bdc479af1d446e2c7ef8имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если math 993.5 7de659547465976dccd906eabb92337e0″ title=»a>0″/>math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то график функции выглядит примерно так:

math 985 6c1189bce2aee2f08ff762504e169ced, math 985 f0019f0b5f24e962a19575fb835f038c

Если math 993.5 7de659547465976dccd906eabb92337e0″ title=»a>0″/>math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

math 985 650afbbce381f4cefaead0932129e338

math 983 24addd11a07d3d9ef979b15243b5bd2c

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: math 991.5 a2cd1f7a028fb88b0e8238bc344ba31a.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87.

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции math 993 c0fff9f198d8ac8ce583c9d977d93425

1. Направление ветвей параболы.

Так как math 993.5 0995a4d83de66befcb474571fb0403ad0″ title=»a=2>0″/>math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена math 993 0575532f60729db78be665b62afbf642

math 992 03b485923a70f72da1796ef3a839ed740″ title=»D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0″/> math 1002 c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710math 993.5 0c8f221214eaa71f6949c2d8fff3dd2e

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: math 993 7d8a1166cfb3d99f2f715e0d4bca4727

math 985 a81c0608032ff7b2f5ce6540c1014543, math 985 9843790f4ee843ccf0d7952317a5f2ed

3. Координаты вершины параболы:

math 985 0807f2402bb46ec78c0512a23f5edb34

math 985 979d79cef0f6b10a28ba6e0893fc25c1

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

math 993 c0fff9f198d8ac8ce583c9d977d93425

Кррдинаты вершины параболы

math 985 0807f2402bb46ec78c0512a23f5edb34

math 985 979d79cef0f6b10a28ba6e0893fc25c1

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

Построим для примера график функции math 991 81eeb01dadfed280b4057423a91f980b.

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции math 991 81eeb01dadfed280b4057423a91f980b, нужно

Выделим в уравнении функции полный квадрат: math 983 7be0c889ed5465e42253388c8d7be6ed

Следовательно, координаты вершины параболы: math 985.5 cc0e92114b8f5cc7b5088cb59b39506d. Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

(х-2)(х+1)=0, отсюда math 985.5 eeacb1eb9ed5fc87e75cb5993ba43f9b

2. Координаты вершины параболы: math 985 56b74ab101433b298bfd07a96595a41b

math 982 d36657046897049af001f7eba6951b2d

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида quicklatex.com 3cc3f03cd59dfbfc1fa292717b29eec3 l3.

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции quicklatex.com 3cc3f03cd59dfbfc1fa292717b29eec3 l3от значения коэффициента quicklatex.com 3690814e878a82184cd0e5be2e85e44c l3,
— сдвига графика функции quicklatex.com 3cc3f03cd59dfbfc1fa292717b29eec3 l3вдоль оси quicklatex.com fcb2707ec6a5b2b61c086b0d24d9186c l3от значения quicklatex.com c65e704cfa91277743c256a4cd7ede7b l3,

— сдвига графика функции quicklatex.com 3cc3f03cd59dfbfc1fa292717b29eec3 l3вдоль оси quicklatex.com 6e2a0b60af3bb28644755657d86604c7 l3от значения quicklatex.com 51822f69c867f2f84e109118089c7108 l3
— направления ветвей параболы от знака коэффициента quicklatex.com 3690814e878a82184cd0e5be2e85e44c l3
— координат вершины параболы quicklatex.com 4c7d462046dd5630341ccd6f19252a52 l3от значений quicklatex.com c65e704cfa91277743c256a4cd7ede7b l3и quicklatex.com 51822f69c867f2f84e109118089c7108 l3:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0

Источник

Определение и формула квадратичной функции

Квадратичной называют функцию канонического вида:

38548a50bebb115a5f7e9905829b29e4

Формально конструкция именуется «квадратный трехчлен». Сразу заметно, что область определения не ограничена, а четность не выявлена.

Примеры построения парабол

Займемся упрощенными случаями и подметим закономерности.

График функции при а = 1, b = c = 0

Наиболее тривиальная, но наглядная и информативная разновидность с формулой:

Функция четная, возрастающая. Построим по точкам.

a8192bc2834413caa685c41ea1edcfa3

Получившаяся кривая называется «парабола». Характерна для уравнений с «квадратом».

Нижнюю точку с координатами (0; 0) называют «вершиной». Единственное место, где одной функции соответствует один аргумент. В данном случае – это минимум функции.

Уходящие вверх части кривой – «ветви». На всех участках кроме вершины к одному (y) относятся сразу (±x).

График функции, когда b = c = 0, а > 1 и а y = 2x 2

Ветви «сожмутся» относительно оси симметрии.

b32d0eebe9886d7355aed52d4dbaa17b

Построим другой график.

cebd34f89eca3d1844a46a92518afc5a

Куда интереснее переместить коэффициент a в отрицательную область.

Парабола «повернется» на 180°. И вершина станет максимумом.

0fef918fbca7762e625f4123dc3d3146

График функции при b = 0, с ≠0

Рассмотрим такой вариант:

Вершина сдвинется на величину c по оси Y.

e6d45d60a6a6b05378a3f9a594b06163

А если параметр c отрицателен? Уравнение выглядит так:

Смещение произойдет ниже точки (0; 0).

8bed28cf7578c8e72c3dee455a56f925

Общий случай a ≠0, b ≠0, c ≠0

Попробуем найти характерные точки.

Пересечения с осью абсцисс (y = 0)

Иными словами, следует решить уравнение:

Корнями уравнения будут:

bb2d5250c532fa04e1f58fa179855cc0

Подкоренное выражение называется «дискриминант» и обозначается «D». Появляются варианты:

D отрицателен, D > 0. В таком случае действительные корни не существуют. Парабола не пересекает ось Х.

D положителен, D > 0. Существуют оба корня. Кривая пересекает X в двух известных местах.

D = 0. Корень один – -b/2a. Пересечение единственно. А такое возможно в одном случае: найденное означает абсциссу вершины.

Вершина

Горизонтальная координата вычисляется по формуле:

4c49440cb542500155d0184bceea206f

937559626022aa045f9c4b6f9f7d8c6e

Касательная в вершине параболы совпадает с осью X или параллельна ей. Значит тангенс её относительного наклона равен 0. А это производная функции:

055bfa23a2384414b8480648ddda36ca

Нашли x0, а y0 находится подстановкой в уравнение найденного.

Ось симметрии

Параллельная оси ординат прямая x = x0.

Приблизительный вид

По уравнению можно прикинуть общую картину:

положительное значение коэффициента a говорит о направленности ветвей вверх и наоборот;

по дискриминанту определим расположение относительно X;

находим пересечения (если есть).

3dec8a36835595a21d3e228b4178d668

Пример построения графика

a = 1, положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх;

Алгоритм построения графика квадратичной функции:

c16bfc1c0f675870f26336809e505731

2. Определяем точки пересечения с осью X:

916965f9edff861c431e08651f24b0c8

b799fd7559758a5f887fc81b389dce51

Свойства параболы

b61e2bcfdb0a22dd25cce59e586b352d

Основные свойства следующие:

Область определения – все действительные числа.

Координаты вершины зависят только от коэффициентов.

Ось симметрии проходит через вершину и параллельна оси ординат.

Заключение

В интернете существует масса онлайн-калькуляторов для облегчения работы с кривой. Приведенные же приемы и перечисленные свойства позволяют лучше понять сущность квадратичного выражения.

Параболические отражатели позволяют получать параллельный пучок света от точечного источника. Антенна такого типа позволяет концентрировать и усиливать радиосигнал. Не абстрактная линия на бумаге.

Источник

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87, где math 993.5 cc6a63e93e5ff274af317b91534ec7730″ title=»a<>0″/> math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции math 993 47789cbeeab10cf0c18192db4c9212b8имеет вид:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент math 993.5 d468252624f2ac4506675738576ea280, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции math 993 47789cbeeab10cf0c18192db4c9212b8при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции math 993 03a497380394a1b75c29399da7832d47имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции math 993 03a497380394a1b75c29399da7832d47симметричен графику функции math 993 47789cbeeab10cf0c18192db4c9212b8относительно оси ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции math 991.5 5b0b35d5bb106720e16ba255d85d33f9с осью ОХ, нужно решить уравнение math 991.5 5a6dca296f98fd9d18dda17d46bfc04e.

В случае квадратичной функции math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87нужно решить квадратное уравнение math 993 00ba2f8841f4bdc479af1d446e2c7ef8.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: math 993 7a6401eabb4cb9744eca88bad449c0c2, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если math 993.5 8c6a8d90ae64ad0ead4db025150c2bd2math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то уравнение math 993 00ba2f8841f4bdc479af1d446e2c7ef8не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если math 993.5 7de659547465976dccd906eabb92337e0″ title=»a>0″/>math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то график функции выглядит как-то так:

2. Если math 993.5 dc4120765dac77ed7c319cfcd9420c38math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то уравнение math 993 00ba2f8841f4bdc479af1d446e2c7ef8имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если math 993.5 7de659547465976dccd906eabb92337e0″ title=»a>0″/>math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то график функции выглядит примерно так:

math 985 6c1189bce2aee2f08ff762504e169ced, math 985 f0019f0b5f24e962a19575fb835f038c

Если math 993.5 7de659547465976dccd906eabb92337e0″ title=»a>0″/>math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

math 985 650afbbce381f4cefaead0932129e338

math 983 24addd11a07d3d9ef979b15243b5bd2c

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: math 991.5 a2cd1f7a028fb88b0e8238bc344ba31a.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой math 993 6c409ff1586173d9df22e6539efdaa87.

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции math 993 c0fff9f198d8ac8ce583c9d977d93425

1. Направление ветвей параболы.

Так как math 993.5 0995a4d83de66befcb474571fb0403ad0″ title=»a=2>0″/>math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена math 993 0575532f60729db78be665b62afbf642

math 992 03b485923a70f72da1796ef3a839ed740″ title=»D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0″/> math 1002 c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710math 993.5 0c8f221214eaa71f6949c2d8fff3dd2e

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: math 993 7d8a1166cfb3d99f2f715e0d4bca4727

math 985 a81c0608032ff7b2f5ce6540c1014543, math 985 9843790f4ee843ccf0d7952317a5f2ed

3. Координаты вершины параболы:

math 985 0807f2402bb46ec78c0512a23f5edb34

math 985 979d79cef0f6b10a28ba6e0893fc25c1

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

math 993 c0fff9f198d8ac8ce583c9d977d93425

Кррдинаты вершины параболы

math 985 0807f2402bb46ec78c0512a23f5edb34

math 985 979d79cef0f6b10a28ba6e0893fc25c1

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

Построим для примера график функции math 991 81eeb01dadfed280b4057423a91f980b.

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции math 991 81eeb01dadfed280b4057423a91f980b, нужно

Выделим в уравнении функции полный квадрат: math 983 7be0c889ed5465e42253388c8d7be6ed

Следовательно, координаты вершины параболы: math 985.5 cc0e92114b8f5cc7b5088cb59b39506d. Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

(х-2)(х+1)=0, отсюда math 985.5 eeacb1eb9ed5fc87e75cb5993ba43f9b

2. Координаты вершины параболы: math 985 56b74ab101433b298bfd07a96595a41b

math 982 d36657046897049af001f7eba6951b2d

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида quicklatex.com 3cc3f03cd59dfbfc1fa292717b29eec3 l3.

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции quicklatex.com 3cc3f03cd59dfbfc1fa292717b29eec3 l3от значения коэффициента quicklatex.com 3690814e878a82184cd0e5be2e85e44c l3,
— сдвига графика функции quicklatex.com 3cc3f03cd59dfbfc1fa292717b29eec3 l3вдоль оси quicklatex.com fcb2707ec6a5b2b61c086b0d24d9186c l3от значения quicklatex.com c65e704cfa91277743c256a4cd7ede7b l3,

— сдвига графика функции quicklatex.com 3cc3f03cd59dfbfc1fa292717b29eec3 l3вдоль оси quicklatex.com 6e2a0b60af3bb28644755657d86604c7 l3от значения quicklatex.com 51822f69c867f2f84e109118089c7108 l3
— направления ветвей параболы от знака коэффициента quicklatex.com 3690814e878a82184cd0e5be2e85e44c l3
— координат вершины параболы quicklatex.com 4c7d462046dd5630341ccd6f19252a52 l3от значений quicklatex.com c65e704cfa91277743c256a4cd7ede7b l3и quicklatex.com 51822f69c867f2f84e109118089c7108 l3:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.math 993.5 a5e6a2d0f30ccae2c26445a31b249fc0

Источник

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector