- Дробные рациональные неравенства
- Дробные рациональные неравенства – это неравенства, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
- Как решать дробные рациональные неравенства:
- Неравенства нельзя умножать или делить на выражения с переменной, если неизвестен знак этого выражения.
- Дробно-рациональные неравенства
- Соответствие между решениями целых рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств
- Примеры
- Метод интервалов
- Уроки математики и физики для школьников и родителей
- понедельник, 8 марта 2021 г.
- Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
- Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
- Неравенства
Дробные рациональные неравенства
Дробные рациональные неравенства – это неравенства, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Как решать дробные рациональные неравенства:
Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств.
Примеры:
Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:
— Дальше двигаемся влево;
— Переходя через число:
— меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (\(1\), \(3\), \(5\)…)
— не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (\(2\), \(4\), \(6\)…)
Примеры:
Выделите нужные промежутки. Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести его в ответ (см. пример ниже).
Примеры:
Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).
Переносим дробь из правой части в левую, меняя знак перед ней.
Вычитаем две дроби с одинаковым знаменателем.
Мы привели неравенство к нужному виду. Теперь решаем по алгоритму.
Сначала вычисляем те значения икса, которые сделают нулем числитель или знаменатель.
Отмечаем их на оси, не забывая «выколоть» иксы от знаменателя и закрасить те, что от числителя.
Расставляем знаки на других интервалах.
Обратите внимание, что в \(x=-1\) знак меняется, а в \(3\) и \(-2\) (выделены рамкой) – нет.
Точку \(-2\) отмечаем флажком, чтобы не забыть взять ее в ответ. Все. Нам подойдут интервалы с плюсом и точка \(-2\). Готово.
Неравенства нельзя умножать или делить на выражения с переменной, если неизвестен знак этого выражения.
Уравнения без проблем можно умножить/делить хоть на положительное число или выражение, хоть на отрицательное. И мы это постоянно делаем при решении уравнений.
Непонятно, мы же не знаем каким оно (выражение на которое умножали) было– положительным или отрицательным! Действительно, при иксе равном \(1\), значение \((x-3)\) отрицательно, а при иксе равном \(7\) – положительно. Поэтому так преобразовывать нельзя. При этом заметим, что:
Например, дробное рациональное неравенство \(\frac
А вот неравенство \(\frac
Дробно-рациональные неравенства
Соответствие между решениями целых рациональных неравенств и дробно-рациональных неравенств
Для решения целых рациональных неравенств следует раскладывать соответствующие многочлены на линейные множители, и затем использовать метод интервалов (см. §7 данного справочника).
Поэтому для решения дробно-рациональных неравенств применяются те же алгоритмы, что и для решения целых рациональных неравенств. Некоторые отличия возникают только в «цвете» точек на числовой прямой (о «цвете» точек, см. §7 данного справочника).
При решении строгих дробно-рациональных неравенств все точки, попадающие на числовую прямую как корни числителя и знаменателя – «белые».
При решении нестрогих дробно-рациональных неравенств все точки, попадающие на числовую прямую как корни числителя – «чёрные», а все точки, попадающие на числовую прямую как корни знаменателя – «белые» (т.к. знаменатель не может быть равен 0).
С учётом этого замечания, для решения дробно-рациональных и целых рациональных неравенств применяются одни и те же алгоритмы.
По условию дробь неотрицательная,$ \ge 0$. Выбираем промежутки, помеченные «+», учитываем цвет точек за счёт круглых и квадратных скобок:
$ x \in (-\infty;-2) \cup [3;+\infty)$
Примеры
Пример 1. Решите неравенства:
Раскладываем числитель и знаменатель на множители:
Выносим все корни из скобок на числовую прямую (все точки «белые»), определяем знаки промежутков:
Выбираем промежутки с «+».
Переносим всё в одну сторону, приводим к общему знаменателю:
Раскладываем числитель на множители:
Выбираем промежутки с «+».
Сравните решения, сделайте выводы.
Возвращаемся к исходной переменной:
Это – парабола ветками вверх. Точки пересечения с осью OX:(0;0)и (1;0)
Ось симметрии:$ x_0 = \frac
В этой же системе координат строим уровни:
и отмечаем области:
Записываем решение – те x, для которых точки параболы попадают в заштрихованные области:
Метод интервалов
Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
1. Рассмотрим, например, такое неравенство
Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.
В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.
Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.
Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.
Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).
Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают ось на промежутков.
При левая часть неравенства отрицательна.
Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:
Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.
Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:
Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
2. Рассмотрим еще одно неравенство.
При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :
При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :
Наконец, при 3′ alt=’x>3′/> все множители положительны, и левая часть имеет знак : 
Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку «ответственный» за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.
Вывод: если линейный множитель стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.
3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:
Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:
В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!
4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:
— которое легко решается методом интервалов.
5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:
Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:
Уроки математики и физики для школьников и родителей
понедельник, 8 марта 2021 г.
Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
обычно решаются методом интервалов. Он удобен для решения неравенств следующего вида:
положителен и, следовательно, на промежутке ( d ; +∞) имеем
Аналогично, на интервале ( b ; c ) будет h ( x ) ˃ 0 и так далее.
Для проведённого выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо для любой функции y = f ( x ) вида
попарно различны. Изменение знаков функции y = f ( x ) можно также иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки
На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.
Отметим, что неравенство
Поэтому строгое дробное неравенство всегда можно заменить равносильным ему целым алгебраическим неравенством.
Например, вместо того, чтобы решить неравенство
так как эти неравенства равносильны (эквивалентны).
Для того чтобы решить неравенство
необходимо разложить многочлены
Множеством решений нестрогого неравенства
является объединением двух множеств: множества решений строгого неравенства
и множества решений уравнения
Из второй системы находим :
В итоге получили следующие решения заданного неравенства :
– если числитель меньше или равен нулю, а знаменатель больше нуля ;
– если числитель больше или равен нулю, а знаменатель меньше нуля ;
Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств :
Из второй системы находим :
то есть система не имеет решений.
Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток :
Данное неравенство равносильно
Отсутствие решений означает, что квадратные трёхчлены на множители не раскладываются и на всём промежутке изменения х имеют постоянный знак, совпадающий со знаком старшего члена (в нашем случае > ).
Умножим и разделим исходное неравенство на положительные выражения
соответственно. Получим равносильное неравенство
Отметив на числовой оси точки
которые являются нулями (корнями) многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, разобьём числовую ось на пять промежутков:
При переходе через каждую из отмеченных точек один и только один из этих множителей меняет знак, и поэтому знак дроби каждый раз меняется. Учитывая это, расставим знаки дроби (смотрите рисунок). Итак, множество решений – объединение следующих интервалов:
Решить систему неравенств :
которые не могут равняться 0 .
Первое неравенство имеет решение
Решаем методом интервалов второе неравенство, его решение
принимает положительные значения при всех х ∈ R , так как его дискриминант
а старший коэффициент положителен.
Обозначим левую часть неравенства через Р (х). Функция Р (х) не определена при
и меняет знак при переходе через точки
Применяя метод интервалов, находим все решения исходного неравенства с учётом того, что числа
принадлежат множеству решений неравенства, а число 2 не принадлежит этому множеству.
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
Таблица числовых промежутков
| Неравенство | Графическое решение | Форма записи ответа |
|---|---|---|
| x c |
