Объем конуса как вывести

fashion 1031469 1920 Советы на день

Объем конуса

Объём конуса выражается такой же формулой, что и объём пирамиды: V = 1 /3 Sh,

где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — его высота.

Окончательно V = 1 /3 πR 2 h, где R — радиус основания конуса.

Получение формулы объёма конуса можно пояснить таким рассуждением:

Пусть дан конус (рис). Впишем в него правильную пирамиду, т. е. построим внутри конуса такую пирамиду, вершина которой совпадает с вершиной конуса, а основанием служит правильный многоугольник, вписанный в основание конуса.

t 33 1

Объём этой пирамиды выразится формулой: V’ = 1 /3 S’h, где V — объём пирамиды,

S’ — площадь её основания, h — высота пирамиды.

Если при этом за основание пирамиды взять многоугольник с очень большим числом сторон, то площадь основания пирамиды будет весьма мало отличаться от площади круга, а объём пирамиды — весьма мало отличаться от объёма конуса. Если, пренебречь этими различиями в размерах, то объём конуса выразится следующей формулой:

V = 1 /3 Sh, где V — объём конуса, S — площадь основания конуса, h — высота конуса.

Примечание. В формуле V = 1 /3 Sh поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах средней школы доказывается, что равенство

V = 1 /3 Sh точное, а не приближённое.

Объем произвольного конуса

Теорема. Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

где Q — площадь основания, а Н — высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис.).

t 33 2

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Фn и Ф’n с площадями Qn и Q’n таких, что

Очевидно, что пирамида с вершиной S и основанием Ф’n будет вписанной в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Фn — описанной около конуса.

Объемы этих пирамид соответственно равны

то формула (1) доказана.

Следствие. Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле

В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса R, вычисляется по формуле

где Н — высота конуса.

Как известно, площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab, и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab. Если а = b = R, то получается формула (3).

Объем прямого кругового конуса

Теорема 1. Объем прямого кругового конуса с высотой Н и радиусом основания R вычисляется по формуле

Данный конус можно рассматривать как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках О(0; 0),В(Н; 0), А(Н; R) вокруг оси Ох (рис.).

t 33 3

Треугольник ОАВ является криволинейной трапецией, соответствующей функции

у = R /H х, х ∈ [0; H]. Поэтому, используя известную формулу, получаем

Следствие. Объем прямого кругового конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т. е.

где Q — площадь основания, а H — высота конуса.

Теорема 2. Объем усеченного конуса с радиусами оснований r и R и высотой H вычисляется по формуле

Усеченный конус можно получить вращением вокруг оси Ох трапеции О ABC (рис.).

t 33 4

Прямая АВ проходит через точки (0; r) и (H; R), поэтому она имеет уравнение

Для вычисления интеграла сделаем замену

Очевидно, когда х изменяется в пределах от 0 до H, переменная и изменяется от r до R, и поэтому

Источник

Тема «Объем конуса»

I. Организационный момент.
II. Повторение основных сведений о конусе.
III. Историческая справка.
IV. Объяснение нового материала.
V. Решение задач на объем конуса (3 задачи).
VI. Дополнительная информация о конусе.
VII. Задание на дом.
VIII. Подведение итогов.
IX. Резервные устные вопросы.

I. Организационный момент

Учащимся сообщается план урока.

II. Повторение основных сведений о конусе

1. Определение прямого кругового конуса.
2. Сечения конуса (высветить кодопозитивы).
3. Площадь поверхности конуса.

III. Историческая справка

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

IV. Объяснение нового материала

no42 21-е доказательство (рис. 1).

no42 1
no42 3

За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.

no42 4

3-е доказательство (рис. 2).

no42 5

no42 6

V. Решение задач на объем конуса

no42 7

Задача 2. Высветить слайд «Сбор смолы с сосен».

Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?

no42 9Решение (рис. 4).

no42 8

Задача 3. Прослушаем фонограмму старинной легенды восточных народов, рассказанной А.С. Пушкиным в «Скупом рыцаре».

«. Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу.
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.»

Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

no42 10

Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.

Угол откоса Ј 45°, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45° (рис. 5).

no42 11дано:

no42 12

no42 13no42 14

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м ( no42 15человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

У Аттилы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек. К сведению, Аттила – предводитель гуннов, кочевого народа, сложившегося в Приуралье из многих племен. Массовое передвижение гуннов на запад (с 70-х гг. IV в.) дало толчок «великому переселению народов». Наибольшего могущества гуннская держава достигла при Аттиле (?–453 гг.), который возглавил опустошительные походы в Восточно-Римскую империю (413 г., 447 г., 448 г., 451 г.). Но в 451 году на Каталаунских полях (равнина в северо-восточной Франции к западу от города Труа) войска Западно-Римской империи в союзе с франками, вест-готами, бургундами, аланами и др. разгромили гуннов во главе с Аттилой, что привело к распаду гуннской державы.

Если бы все воины Аттилы участвовали в насыпании холма, образовалась бы куча повыше вычисленной нами, но не очень. Советую вам самим дома вычислить высоту кургана и подумать, удовлетворила бы такая высота честолюбие Аттилы или нет.

VI. Дополнительная информация о конусе

1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности (рис. 6). Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

no42 16

5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает (рис. 7). Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

VII. Задание на дом

VIII. Подведение итогов

Итак, мы с вами расширили понятие и представление о конусе, вывели формулу объема конуса, научились применять эту формулу при решении задач. Вопрос о конусе важен, так как конические детали имеются во многих машинах и механизмах. В автомобилях, танках, бронетранспортерах – конические шестерни; носовая часть самолетов и ракет имеет коническую форму.

IX. Резервные устные вопросы

Высветить через кодоскоп следующий кодопозитив (рис. 8):

no42 17

Как найти объем тела, полученного при вращении каждой фигуры относительно изображенной оси?

Слова Яна Амоса Коменского: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

Источник

Объем конуса

Урок 28. Геометрия 11 класс ФГОС

20210413 vu tg sbscrb2

28

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

20210706 unblock slide1

20210706 unblock slide2

20210706 unblock slide3

Конспект урока «Объем конуса»

Сегодня на уроке мы вспомним, какие фигуры мы назвали конусом, усечённым конусом, выведем формулы для вычисления объёма конуса и усечённого конуса.

Конус – это один из видов тел вращения. Рассмотрим произвольную плоскость image001, окружность image002с центром image003, лежащую в плоскости image001и прямую image004, перпендикулярную к плоскости image001этой окружности. Через точку image005и каждую точку окружности проведём прямую.

image006

Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности.

Точка image005называется вершиной, а прямая image004называется осью конической поверхности.

Мы давали такое определение. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей image002, называется конусом.

Вспомним элементы конуса.

image007

Основанием конуса называется круг, границей которого служит окружность image002.

Вершиной конуса называется вершина конической поверхности.

Образующими конуса называются отрезки образующих конической поверхности, заключённые между его вершиной и основанием. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу.

Боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов на image008.

image009

На экране изображён конус, полученный вращением прямоугольного треугольника image010вокруг катета image011. В этом случае основание конуса образуется вращением катета image012, а боковая поверхность конуса – вращением гипотенузы image013.

Теперь давайте сформулируем и докажем теорему.

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Рассмотрим конус с объёмом image014, радиусом основания image015, высотой image016и вершиной в точке image003.

image017

Проведём ось image018так, чтобы она проходила черев высоту конуса. Любое сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси image018является кругом с центром в точке пересечения этой плоскости с осью image018. Например, с центром в точке image019. Обозначим радиус этого круга за image020, а площадь сечения обозначим за image021, где икс – абсцисса точки image019.

Поскольку ось image018проходит через высоту конуса, то, значит, что ось image018перпендикулярна плоскости основания, тогда плоскость сечения параллельна плоскости основания, значит, можно записать, что image022. Из параллельности этих отрезков следует равенство углов image023, image024, отсюда следует подобие треугольников image025.

Из подобия можно записать равенство отношений image026. Отрезок image027, image028– высота конуса, значит image029, тогда можно записать, что отношение image030.

Отсюда нетрудно выразить image031. Площадь сечения равна image032. Подставим вместо image020его выражение через радиус основания конуса, получим, что image033.

Для вычисления объёма воспользуемся основной формулой для вычисления объёмов тел.

image034

Пределы интегрирования от image035до image016, получим, что объём равен image036.

Что и требовалось доказать.

Следствием этой теоремы будет формула для вычисления объёма усеченного конуса. Но прежде чем сформулировать следствие, давайте вспомним, какую фигуру мы назвали усечённым конусом.

image037

Усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса.

Назовём элементы усечённого конуса.

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса.

Высотой усечённого конуса называется отрезок (или его длина), соединяющий центры его оснований.

Прямая image038называется его осью.

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями, называются образующими усечённого конуса.

Все образующие усечённого конуса равны друг другу.

Усечённый конус может быть получен вращением на image008прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

image039

Теперь сформулируем следствие.

Объём усечённого конуса, высота которой равна image016, а площадь оснований равны image040и image041, вычисляется по формуле:

image042

image043

Решим несколько задач.

Задача: заполнить таблицу недостающими данными.

image044

Решение: в первой строке нам известны радиус основания конуса и высота конуса, для того, чтобы найти объём конуса, воспользуемся только что доказанной формулой image045.

image046

Занесём получившееся значение в ячейку.

Во второй строке нам даны объем конуса и радиус его основания, для того чтобы найти высоту конуса, выразим из формулы объёма высоту и получим image047. Занесём получившееся значение в ячейку.

В третьей строке нам даны: объём конуса и его высота нам необходимо найти радиус основания конуса. Подставим эти значения в известную нам формулу, выразим из неё высоту конуса и получим image048.

Задача: высота конуса равна image049. На расстоянии image050от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найти объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен image051.

Решение: так как плоскость пересекает конус на расстоянии image050от вершины, значит, высота меньшего конуса равна 2 см.

image052

Тогда зная объём меньшего конуса нетрудно найти радиус основания меньшего конуса image053.

Большой конус и маленький конус подобны, поэтому можно записать равенства отношений image054.

Отсюда нетрудно найти, что радиус основания большого конуса равен image055.

Тогда, подставив найденные значения в формулу для вычисления объёма, получим, что объём конуса равен image056.

Задача: радиусы оснований усечённого конуса равны image057и image058, а образующая конуса равна image059. Найти объём усечённого конуса.

Решение: построим осевое сечение усечённого конуса.

image060

В осевом сечении будет равнобедренная трапеция, основаниями которой будут диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами будут образующие усечённого конуса.

Опустим высоты трапеции, эти высоты будут равны высоте конуса. Поскольку трапеция равнобедренная, значит, высоты разбивают трапецию на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник.

Нетрудно найти, что высота трапеции, а значит и усеченного конуса будет равна:

image061

image062

Вычислим площади оснований усечённого конуса.

image063

image064

Подставим найденные значения в формулу для вычисления объёма усеченного конуса и получим, что объём усечённого конуса равен image065.

Сегодня на уроке мы вспомнили, какие фигуры называются конусом и усечённым конусом, вывели формулы для вычисления объёмов конуса и усечённого конуса. Решили насколько задач.

Источник

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector