Обратная матрица как решать

girl 1848472 1920 Советы на день

Правило Крамера. Метод обратной матрицы

Представляю Вашему вниманию вторую часть урока Как решить систему линейных уравнений? В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Настоятельно рекомендую скачать программу для автоматизированного решения систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Всегда приятно знать правильный ответ заранее, более того, программа позволит сразу обнаружить ошибку по ходу решения задачи, что значительно сэкономит время!

Решение системы по формулам Крамера

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений pravilo kramera matrichnyi metod clip image002

На первом шаге вычислим определитель pravilo kramera matrichnyi metod clip image004, его называют главным определителем системы.

Если pravilo kramera matrichnyi metod clip image006, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если pravilo kramera matrichnyi metod clip image008, то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image010и pravilo kramera matrichnyi metod clip image012

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой pravilo kramera matrichnyi metod clip image014.

Корни уравнения находим по формулам:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image016, pravilo kramera matrichnyi metod clip image018

Решить систему линейных уравнений
pravilo kramera matrichnyi metod clip image020

Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

pravilo kramera matrichnyi metod clip image022, значит, система имеет единственное решение.

pravilo kramera matrichnyi metod clip image024;
pravilo kramera matrichnyi metod clip image026

pravilo kramera matrichnyi metod clip image028;
pravilo kramera matrichnyi metod clip image030

Ответ: pravilo kramera matrichnyi metod clip image032, pravilo kramera matrichnyi metod clip image034

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «pravilo kramera matrichnyi metod clip image036, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения pravilo kramera matrichnyi metod clip image032 0000 pravilo kramera matrichnyi metod clip image034 0000в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
pravilo kramera matrichnyi metod clip image038

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image040

Находим главный определитель системы:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image042

Если pravilo kramera matrichnyi metod clip image044, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если pravilo kramera matrichnyi metod clip image046, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image048, pravilo kramera matrichnyi metod clip image050, pravilo kramera matrichnyi metod clip image052

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
pravilo kramera matrichnyi metod clip 1

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов pravilo kramera matrichnyi metod clip image060последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Решить систему по формулам Крамера.
pravilo kramera matrichnyi metod clip image062

Решение: Решим систему по формулам Крамера.
pravilo kramera matrichnyi metod clip image064
pravilo kramera matrichnyi metod clip image066, значит, система имеет единственное решение.

pravilo kramera matrichnyi metod clip image068

pravilo kramera matrichnyi metod clip image070

pravilo kramera matrichnyi metod clip image072

pravilo kramera matrichnyi metod clip image074

pravilo kramera matrichnyi metod clip image076

pravilo kramera matrichnyi metod clip image078

Ответ: pravilo kramera matrichnyi metod clip image080.

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: pravilo kramera matrichnyi metod clip image082.
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде pravilo kramera matrichnyi metod clip image084. Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image086
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная pravilo kramera matrichnyi metod clip image088, во втором – переменная pravilo kramera matrichnyi metod clip image090. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image00222– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Решить систему по формулам Крамера.
pravilo kramera matrichnyi metod clip image094

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Решить систему с матричным методом
pravilo kramera matrichnyi metod clip image062 0000

Решение: Запишем систему в матричной форме:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image096, где pravilo kramera matrichnyi metod clip image098

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице pravilo kramera matrichnyi metod clip image100нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле pravilo kramera matrichnyi metod clip image102(её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу pravilo kramera matrichnyi metod clip image104и выполнить матричное умножение pravilo kramera matrichnyi metod clip image106. Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image108, где pravilo kramera matrichnyi metod clip image110– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы pravilo kramera matrichnyi metod clip image100 0000.

Сначала разбираемся с определителем:

pravilo kramera matrichnyi metod clip image113

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если pravilo kramera matrichnyi metod clip image115, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров pravilo kramera matrichnyi metod clip image117

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
pravilo kramera matrichnyi metod clip image119
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент pravilo kramera matrichnyi metod clip image121находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент pravilo kramera matrichnyi metod clip image123находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

pravilo kramera matrichnyi metod clip image125
pravilo kramera matrichnyi metod clip image127
pravilo kramera matrichnyi metod clip image129
pravilo kramera matrichnyi metod clip image131
pravilo kramera matrichnyi metod clip image133
pravilo kramera matrichnyi metod clip image135
pravilo kramera matrichnyi metod clip image137
pravilo kramera matrichnyi metod clip image139
pravilo kramera matrichnyi metod clip image141

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

pravilo kramera matrichnyi metod clip image143– матрица миноров соответствующих элементов матрицы pravilo kramera matrichnyi metod clip image100 0001.

pravilo kramera matrichnyi metod clip image145– матрица алгебраических дополнений.

pravilo kramera matrichnyi metod clip image147– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

pravilo kramera matrichnyi metod clip image149

Ни в коем случае не вносим pravilo kramera matrichnyi metod clip image151в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.

pravilo kramera matrichnyi metod clip image153

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ: pravilo kramera matrichnyi metod clip image155

Решить систему с помощью обратной матрицы.
pravilo kramera matrichnyi metod clip image094 0000

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

Пример 3: pravilo kramera matrichnyi metod clip image157

Пример 6: pravilo kramera matrichnyi metod clip image159

Пример 8: pravilo kramera matrichnyi metod clip image161, pravilo kramera matrichnyi metod clip image163. Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже).

Примеры 10, 12: pravilo kramera matrichnyi metod clip image165

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

mark Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Как найти обратную матрицу?

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число kak naiti obratnuyu matricu clip image555. Произведение данных чисел равно единице: kak naiti obratnuyu matricu clip image554. С матрицами всё похоже! Произведение матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image002на обратную ей матрицу kak naiti obratnuyu matricu clip image004равно kak naiti obratnuyu matricu clip image553единичной матрице, которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.

Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

Есть? Тогда поехали дальше. А хотя… ехать могут все, если что-то не знаете, я буду ставить нужную ссылку по ходу объяснений.

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований.

Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу kak naiti obratnuyu matricu clip image002. Обратную матрицу kak naiti obratnuyu matricu clip image004можно найти по следующей формуле:

kak naiti obratnuyu matricu clip image006, где kak naiti obratnuyu matricu clip image008– определитель матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image002 0000, kak naiti obratnuyu matricu clip image010– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image002 0001.

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом kak naiti obratnuyu matricu clip image013

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Найти обратную матрицу для матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image015

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

kak naiti obratnuyu matricu clip image017

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось, kak naiti obratnuyu matricu clip image019, а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров kak naiti obratnuyu matricu clip image021.

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица kak naiti obratnuyu matricu clip image002 0002, то есть в данном случае kak naiti obratnuyu matricu clip image023.
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице kak naiti obratnuyu matricu clip image015 0000
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:
kak naiti obratnuyu matricu clip image026
Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
kak naiti obratnuyu matricu clip image028
Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:
kak naiti obratnuyu matricu clip image030
Рассматриваем следующий элемент матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image002 0003:
kak naiti obratnuyu matricu clip image032
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:
kak naiti obratnuyu matricu clip image034
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:
kak naiti obratnuyu matricu clip image036
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:
kak naiti obratnuyu matricu clip image038
kak naiti obratnuyu matricu clip image040
Готово.

kak naiti obratnuyu matricu clip image042– матрица миноров соответствующих элементов матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image002 0004.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений kak naiti obratnuyu matricu clip image044.

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:
kak naiti obratnuyu matricu clip image046
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

kak naiti obratnuyu matricu clip image048– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image002 0005.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений kak naiti obratnuyu matricu clip image010 0000.

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.

kak naiti obratnuyu matricu clip image051– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image002 0006.

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу kak naiti obratnuyu matricu clip image006 0000
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:
kak naiti obratnuyu matricu clip image053

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами.

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение kak naiti obratnuyu matricu clip image055либо kak naiti obratnuyu matricu clip image057

Проверка:
kak naiti obratnuyu matricu clip image059

Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие kak naiti obratnuyu matricu clip image057, то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:

Найти обратную матрицу для матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image061

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: kak naiti obratnuyu matricu clip image063, где kak naiti obratnuyu matricu clip image065– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image067.

1) Находим определитель матрицы.

kak naiti obratnuyu matricu clip image069
Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что kak naiti obratnuyu matricu clip image071, а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров kak naiti obratnuyu matricu clip image021 0000.

Матрица миноров имеет размерность «три на три» kak naiti obratnuyu matricu clip image073, и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:
kak naiti obratnuyu matricu clip image075
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
kak naiti obratnuyu matricu clip image077

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»
kak naiti obratnuyu matricu clip image079
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:
kak naiti obratnuyu matricu clip image081
Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:
kak naiti obratnuyu matricu clip image083

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:
kak naiti obratnuyu matricu clip image085
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:
kak naiti obratnuyu matricu clip image087– матрица миноров соответствующих элементов матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image067 0000.

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений kak naiti obratnuyu matricu clip image090.

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:
kak naiti obratnuyu matricu clip image092
В данном случае:
kak naiti obratnuyu matricu clip image094– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image067 0001.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений kak naiti obratnuyu matricu clip image065 0000.

kak naiti obratnuyu matricu clip image098– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы kak naiti obratnuyu matricu clip image067 0002.

5) Ответ:

kak naiti obratnuyu matricu clip image100

Проверка:
kak naiti obratnuyu matricu clip image102

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи – и есть поиск обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.

Иногда обратную матрицу требуется найти методом Гаусса-Жордана, но второй способ доступен для студентов с приличной техникой элементарных преобразований.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

mark Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector