Обратная парабола как называется

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке — возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение

Источник

МАГИЯ ПАРАБОЛЫ, СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИМ ОБРАТНЫХ

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Рада видеть вас на очередной лекции магии функций и интегралов.

Общий вид параболы (квадратичная функция)

Коэффициенты b и c могут равняться нулю (одновременно или нет), а вот коэффициент «a» нулю равняться не может, иначе это уже будет не квадратичная функция.

Простейшая функция параболы имеет вид

А сейчас мы, пользуясь знаниями полученными на предыдущих уроках, попробуем с помощью магии коэффициентов менять магию функции.

Добавление коэффициента «а», отличного от 1, приводит к изменению размаха ветвей параболы. Если |a|>1, то парабола становится уже, а если |a| 2 +c (3)

Добавление константы «с» в качестве слагаемого к выражению с квадратом приводит к перемещению параболы вверх или вниз на «с» позиций. Соответственно, изменяется множество значений функции.

Видно, что c₁>0, c₂ 2 +bx+c = (sqrt(a)x + b/(2*sqrt(a))) 2 + (c-b 2 /(4a))

—> На самом деле, когда в уравнении присутствуют числовые коэффициенты, всё намного понятнее, поэтому давайте перейдем от буквенных коэффициентов к числовым:

a=2; b=4; c=5
y=2x 2 +4x+5=2(x+1) 2 +3

И вот теперь аккуратно начнем разбирать магию этой квадратичной функции. Начнем изнутри.
Видим, что в квадрате не х, а (х+1). Из предыдущих уроков мы помним, что коэффициент-слагаемое рядом с х вызывает магию перемещения функции по горизонтали вправо или влево. В нашем случае на 1 единицу влево.

Далее обращаем внимание на коэффициент 2 около квадрата. Он вызовет магию сжатия параболы. Она станет уже. Если бы этот коэффициент был ещё и отрицательным, то парабола бы повернулась на 180 градусов, и ветви бы стали бы смотреть вниз.
Далее в действие вступает коэффициент 3 и применяет свою магию, вызывая передвижение параболы на 3 единицы вверх.

Задание 1. Каждый берет свою параболу (1).
Коэффициенты определяются следующим образом:
а=первому числу в номере вашего ЛД
b=второму числу в номере вашего ЛД
c=третьему числу в номере вашего ЛД или a-b, если номер вашего ЛД двузначный.
Надо исследовать эту параболу так же, как делали мы на уроке, отметив и промежутки убывания и возрастания.

Урок ещё не закончен. Пойдем дальше. Положение параболы в координатных осях зависит от коэффициентов a, b, c.
От знака коэффициента а зависит, как направлены ветви параболы:
если а>0, то ветви параболы направлены вверх;
если а 2 + bx + c = 0.

Да-да, через вычисление дискриминанта. Корней может быть 2, может быть один (на самом деле корней 2, но они одинаковые), либо не быть корней. Но нет действительных корней, а вот мнимые корни есть, но о таких корнях мы говорить пока не будем, хотя они приоткрывают еще более интересную магию, но о ней позже. намного позже. Если вас заинтересует это, то мы потом вернемся к мнимым корням и магии функции комплексной переменной. А ее магия еще более удивительная, и она может творить такие чудеса, которые многим и не снились. Но пока будем говорить только о действительных корнях квадратного уравнения.

Итак, если корней 2, то это значит, что парабола пересекает ось ОХ в двух точках.

Если корень один (вернее, два одинаковых), то это значит, что парабола касается оси ОХ в одной точке.

Если же дискриминант квадратного уравнения, соответствующего квадратичной функции, отрицательный, то вся парабола находится либо выше оси ОХ, либо ниже неё.

Ещё раз обращу ваше внимание на то, что областью определения параболы является вся числовая ось, а вот множество значений зависит от положения параболы.

Задание 2. В приведенных мной выше графиках, считая масштаб 1:1, укажите множество значений всех функций 1-6.

И теперь быстренько познакомимся с общим видом степенной функции

Ясно, что когда n-четное число, то вид функции похож на (1).
Если n-нечетное число, то график функции перестает быть четным, он становится нечетным и выполняется условие f(-x)=-f(x). Такой вид функции еще называется кубической параболой.

Задание 3. Найдите область определения и множество значений для функции (4) для разных n (чётных и нечётных).

И, наконец, последнее. Рассмотрим функцию, обратную функции (4). Какая операция обратная возведению в степень? Конечно же, извлечение корня.

(5)

Здесь тоже необходимо рассмотреть два случая.

Задание 4. Укажите для функции (5) области определения и множество значений. Сравните графики функций (4) и (5).

И в конце покажу вам, как строятся графики обратных функций. Графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов. Поэтому достаточно провести эту линию и отразить симметрично относительно нее график степенной функции.

На рисунке я изобразила оба случая степенных функций и обратных к ней. Как мы видим, в случае с n-нечётным всё нормально: обе ветки отразились симметрично биссектрисы, и получилась функция. А вот в случае с n-чётным одна из веточек нарисована пунктиром, потому как она не входит в график функции, потому что получившаяся симметричным отражением кривая функцией не будет.

Задание 5. Покажите, что если включить и пунктирную ветку в график, то это уже будет график не функции.

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной

Источник

Основные определения

Параболой называется кривая второго порядка, состоящая из множества точек, которые удалены на равные расстояния от директрисы и вершины. Ее еще называют функцией квадратичного типа. Не следует путать с гиперболой, поскольку она является прямой второго порядка, но ее называют кубической.

Директриса — условная прямая, относительно которой строится кубическая парабола. Она не указывается на чертеже, но полезна при нахождении неизвестных параметров, когда требуется выполнить дополнительное построение.

Вершина (фокус) — ближайшая точка к директрисе. Из нее исходят симметричные ветви кривой, на которой располагаются точки, имеющие одинаковое значение ординат, а их абсциссы равны между собой по модулю и являются противоположными числами.

Полезные свойства

Парабола, как и любое геометрическое тело, обладает определенными свойствами:

Свойства помогают находить некоторые параметры кривой, доказывать утверждения и теоремы. Однако этого недостаточно для решения задач. Следует разобрать математические формы записи параболы.

Формула кривой

Следует отметить, что р>0. Чтобы вывести формулу параболы, следует применить алгоритм:

Третье представление (уравнение параболы) — общее. Его можно править следующим образом: Ах^2+Вху+Су^2+Dх+Еу+F = 0. Некоторые коэффициенты могут быть эквивалентны нулю. Кроме того, кривая задается также в полярной системе при помощи соотношения n(1+cos(s))=n. В последнем равенстве параметр «n» эквивалентен отрезку, соединяющему директрису и вершину.

Методы нахождения координат вершины

Очень часто функция квадратичного типа при решении задач может быть представлена в некотором виде, который следует при помощи математических преобразований привести в читабельную форму. Последний термин обозначает, что требуется преобразовать формулу параболы для удобного построения таблицы и схематического представления. Делается эта операция по следующему алгоритму на примере z=t^2 +4t+2:

Методика позволяет найти фокус без дополнительных формул. Однако существует и другой способ определения вершины, где применяется производная функции:

Существуют программные продукты для нахождения параметров параболы. Названия имеют английскую номенклатуру, т. е. «parabola».

График функции

Иногда требуется в заданиях графическое представление функции. Для этого необходимо следовать инструкции:

График параболы хорош тем, что позволяет освободиться от большого количества расчетов, поскольку является симметричным. Для таблицы зависимостей достаточно подставить 2 одинаково противоположные величины, а иногда и разные числа превращают значения функции в одинаковые величины.

Пример решения

Можно приступать к построению графика. Специалисты рекомендуют чертить его при помощи карандаша. Отмечать следует только точки, указанные в таблице. Кроме того, необходимо указать на графике нули функции, а также ее пересечения с ординатой. Ветви искомой параболы будут направлены вверх, поскольку коэффициент при квадрате 1>0.

Таким образом, парабола — кривая ll порядка, которая используется для описания некоторых физических явлений, траекторий движения тел в пространстве, а также для описания квадратичной зависимости между двумя величинами.

Источник

Парабола

Парабола, её фокус и директриса
Коническое сечение:
Эксцентриситет:
Уравнение:
гипербола · парабола · эллипс · окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Содержание

Уравнения

0″ border=»0″/> (или , если поменять местами оси).

Уравнение директрисы : , фокус — , таким образом начало координат — середина отрезка . По определению параболы для любой точки , лежащей на ней выполняется равенство . и , тогда равенство приобретает вид:

.

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение .

Квадратное уравнение при также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке , координаты которой вычисляются по формулам:

где — дискриминант

Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a Расчёт коэффициентов квадратного уравнения

Если для уравнения известны координаты 3-х различных точек его графика , , , то его коэффициенты могут быть найдены так:

Свойства

Связанные определения

Параболы в физическом пространстве

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)

Параболические траектории струй воды

Вращающийся сосуд с жидкостью

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)

Конические сечения
Главные типы	Эллипс • Гипербола • Парабола
Вырожденные	Точка • Прямая • Пара прямых
Частный случай эллипса	Окружность
Геометрическое построение	Коническое сечение • Шары Данделена
См. также	Коническая константа
Математика • Геометрия

Полезное

Смотреть что такое «Парабола» в других словарях:

ПАРАБОЛА — (греч. parabole, от parabollo сближаю). 1) иносказание, притча. 2) кривая линия, происходящая от сечения конуса плоскостью, параллельною какой нибудь его производящей. 3) кривая линия, образующаяся при полете бомбы, ядра и т. п. Словарь… … Словарь иностранных слов русского языка

парабола — иносказание, притча (Даль) См. пример … Словарь синонимов

ПАРАБОЛА — (греч. parabole) плоская кривая (2 го порядка). Парабола множество точек М, расстояния которых до данной точки F (фокуса) и до данной прямой D1D2 (директрисы) равны. В надлежащей системе координат уравнение параболы имеет вид: y2=2px, где р=2OF.… … Большой Энциклопедический словарь

ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, математическая кривая, КОНИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ, образуемое точкой, двигающейся таким образом, что ее расстояние до неподвижной точки, фокуса, равно ее расстоянию до неподвижной прямой, директрисы. Парабола образуется при разрезе конуса… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПАРАБОЛА — жен., греч. иносказанье, притча. | мат. кривая черта, из числа конических сечений; разрез сахарной головы накось, опостен (параллельно) противной стороне. Парабольные вычисленья. Параболическое реченье, инословие, иноречие, переносное.… … Толковый словарь Даля

ПАРАБОЛА — (1) незамкнутая кривая линия 2 го порядка на плоскости, являющаяся графиком функции у2 = 2рх, где р параметр. Параболу получают при пересечении кругового (см.) плоскостью, не проходящей через его вершину и параллельной одной из его образующих.… … Большая политехническая энциклопедия

ПАРАБОЛА — (от греческого parabole), плоская кривая, расстояния любой точки M которой до данной точки F (фокуса) и до данной прямой D 1D1 (директрисы) равны (MD=MF) … Современная энциклопедия

ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, параболы, жен. (греч. parabole). 1. Кривая второго порядка, представляющая коническое сечение прямого кругового конуса плоскостью, параллельною одной из образующих (мат.). || Путь, описываемый тяжелым телом (напр. пулей), брошенным под… … Толковый словарь Ушакова

ПАРАБОЛА — ПАРАБОЛА, ы, жен. В математике: состоящая из одной ветви незамкнутая кривая, образующаяся при пересечении конической поверхности плоскостью. | прил. параболический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

ПАРАБОЛА — «ПАРАБОЛА», Россия, 1992, цв., 30 мин. Документальное эссе. Попытка понять мистическую суть сказаний удмуртов маленького народа в Поволжье. Режиссер: Светлана Стасенко (см. СТАСЕНКО Светлана). Автор сценария: Светлана Стасенко (см. СТАСЕНКО… … Энциклопедия кино

Источник