Обратные уравнения как решать

woman 6687637 1920 Советы на день

Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции

Разделы: Математика

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, – что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
Лейбниц

Цели: систематизировать, обобщить знания и умения учащихся по применению методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, развивать умение наблюдать, сравнивать, классифицировать, анализировать математические ситуации.

(На столах у учащихся карточки с заданиями №1, №2 теста, таблицы с уравнениями, оценочные листы, набор карточек для сбора на магнитной доске задания №2).

Ключевые свойства: монотонность, ограниченность.

Основные понятия: классификация, уравнение-следствие, равносильное уравнение, равносильная система.

Работа учащихся состоит из шести этапов. Итоги своей деятельности ребята фиксируют в оценочных листах. Самооценка за урок зависит от суммы n набранных баллов на всех этапах.

Оценочный лист учащегося

Знать и понимать определения обратных тригонометрических функций, тождества

Уметь применять свойства обратных тригонометрических функций для решения уравнений

Классификация уравнений по методам решения

Знать характеристику каждого метода, уметь классифицировать уравнения по методам решения.

Проверка домашнего задания

Уметь решать уравнения №12, 16, 14.

Самостоятельная работа

Уметь решать уравнения

Вариант 1–1, 6; Вариант 2 – 4, 5

Итоговое количество баллов

Предварительное домашнее задание: Повторить определения обратных тригонометрических функций, понятие о равносильных и неравносильных преобразованиях, характеристики методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Организационный момент, вступительное слово учителя.

Этап I (5 мин.). Учитель предлагает ребятам вначале вспомнить важнейшие свойства обратных тригонометрических функций. Ученики выполняют задания №1, №2 на карточках в парах. Одна пара выполняет эти задания на магнитной и переносной доске. Когда задания карточек выполнены, ребята сравнивают свои записи с работой товарищей у доски, исправляют ошибки, фиксируют свои успехи в оценочном листе.

Оценка
”5”– нет ошибок,
“4”– 1–2 ошибки,
“3”–3–4 ошибки,
“2”– более 4 ошибок.

Задание №1. Соедините линиями соответствующие данным обратным тригонометрическим функциям область определения, область значения, условие монотонности, график.

img1

Этап II. (5мин) Следующий вид работы – тест. Задания теста проверяют умения учащихся применять свойства обратных тригонометрических функций для решения уравнений. По окончании работы над тестом учитель открывает заранее изготовленные ответы. Пары обмениваются карточкам и проводят взаимопроверку.

Вариант №1. Найдите пары: “Уравнение – его решение”.

а б в г д Критерии оценки:

Затем учащиеся объясняют решения уравнений №5 из В I, №1 из В II. Подводя итог, первых двух этапов отличаем, что свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Этап III. (5мин) На третьем этапе проводим классификацию уравнений по методам решения. Рядом с каждым методом 1-4 укажите номер задания, которое вы предполагаете можно решить данным методом. Работа в парах. Обсуждение проводим в быстром темпе. В результате выполнения этого задания появилась схема. Завершает эту работу анализ ребят своей собственной деятельности, ее оценка. (Таблица “Классификация методов решения уравнений” приложение №1).

Этап IV. (8мин) На следующем этапе проверяем домашнее задание. (На доске заранее заготовлено решение № 9, 11, 10, 3, 13, ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.)

№ 10. Ответ: при любом а

img5

4) В каких случаях применяется метод обращения к монотонности функции. (Ответ: Во-первых, тогда, когда данное уравнение имеет в одной части функцию монотонную, а в другой постоянную. Такое уравнение не может иметь более одного корня. Во-вторых, тогда, когда одна часть уравнения представляет собой возрастающую, а другая – убывающую функцию. Графики таких функций не могут иметь более одной общей точки. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня.)

Этап V. (10 мин). Далее отмечаем, что самый распространенный из данных методов – метод замены переменной. При решении уравнений удачная замена переменных позволяет свести задачу к более простой. Однако во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнить некоторые преобразования. Вспоминаем способы преобразований (переход к уравнению – следствию; переход к уравнению равносильному на некотором множестве исходному уравнению; переход к системе равносильной исходному уравнению). Затем трое учеников у доски решают уравнения № 12, 16, 14.

Остальные ребята решают любое из предложенных трех уравнений.

img3 img4

Подводя итог этого этапа, отмечаем, что при решении таких уравнений, методом замены переменной, следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.

Этап VI. (10 мин) В конце проводится самостоятельная работа (под копировальную бумагу) в двух вариантах с взаимопроверкой по копиям. Перед самостоятельной работой уточняем ответы на следующие вопросы:

I уровень – задание репродуктивного характера – решить уравнения №2, 7, 8, 15.

II уровень – задание поискового плана: подобрать неравенства решаемые методами 1-4.

III уровень – составить тест аналогичный тесту этапа II по теме: “Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Источник

Обратные уравнения как решать

Вначале напомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.

1 Функция y = arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке [– 1; 1];

arcsin (– x) = – arcsin x (x О [– 1; 1]);
no13 1

2 Функция y = arccos x определена и монотонно убывает на отрезке [– 1; 1];

3 Функция y = arctg x определена и монотонно возрастает на R;

arctg (– x) = – arctg x (x О R);
no13 2

4 Функция y = arcctg x определена и монотонно убывает на R;

no13 3

Свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Перейдем к рассмотрению методов решения этих уравнений и неравенств.

I. Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями

Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность. Напомним, что функции y = arcsin t и y = arctg t монотонно возрастают, а функции y = arccos t и y = arcctg t монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.

no13 4

no13 5

Замечание 1. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 1а) и 2а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) | Ј 1 (тогда используем первую систему), или | g(x) | Ј 1 (в этом случае используем вторую систему).

Пример 1. Решить уравнение arcsin (3x 2 – 4x – 1) = arcsin (x + 1).

Решение. Уравнение равносильно системе

no13 6

Замечание 2. Решать неравенство, входящее в систему, вообще говоря, не обязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные корни уравнения, как это и было сделано при решении примера 1.

Пример 2. Решить неравенство arcctg (8x 2 – 6x – 1) Ј arcctg (4x 2 – x + 8).

Решение. Неравенство равносильно следующему:

no13 7

Пример 3. Решить неравенство 3arcsin 2x

no13 8

Пример 4. Решить неравенство arccos (x 2 – 3) Ј arccos (x + 3).

no13 9

Решение. Так как p – arccos t = arccos (– t), то имеет место следующая цепочка равносильных преобразований:

arccos (4x 2 – 3x – 2) = p – arccos (3x 2 – 8x – 4) Ы
Ы arccos (4x 2 – 3x – 2) = arccos (– 3x 2 + 8x + 4) Ы

no13 10

Аналогичные равносильные преобразования используются и при решении задач с параметрами.

Пример 7. Решить уравнение с параметром a: arcsin (ax 2 – ax + 1) + arcsin x = 0.

Решение. Уравнение равносильно уравнению

no13 11

Рассмотрим два случая:

1) a = 0. В этом случае система примет вид: no13 12

Ответ : при no13 15 при a = – 1 и a = 0 x = 1; при прочих a решений нет.

Пример 8. Решить неравенство с параметром a: arccos (3ax + 1) Ј arccos (2x + 3a – 1).

Решение. Неравенство равносильно системе no13 16

Решать последнюю систему можно графо-аналитическим методом, учитывая то, что при a > no13 17 первое неравенство системы равносильно неравенству x і 1, при a no13 17 – неравенству x Ј 1, при a = no13 17 решением первого неравенства является любое действительное число. Множество всех точек (x; a) плоскости Oxa, удовлетворяющих системе, показано на рис. 1 штриховкой.

no13 18Ответ: при | a | > no13 17решений нет; при a = – no13 17x = 1;

no13 19

II. Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями

При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. Эта группа задач является чуть более сложной по сравнению с предыдущей. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x) = arccos g(x). Предположим, что x0 – решение этого уравнения. Обозначим arcsin f(x0) = arccos g(x0) через a. Тогда sin a = f(x0), cos a = g(x0), откуда f 2 (x0) + g 2 (x0) = 1. Итак, arcsin f(x) = arccos g(x) Ю f 2 (x) + g 2 (x) = 1. (1)

Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:

no13 20

no13 21

Замечание 3. Корнем каждого из уравнений (1)–(4) может быть только такое число x0, для которого f(x0) і 0 и g(x0) і 0. В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.

Пример 9. Решить уравнение no13 22

no13 23

Корень no13 24 является посторонним.

Пример 10. Решить уравнение no13 25

no13 26

Корень x = – 2 является посторонним.

Пример 11. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x).

no13 28

Корни вида no13 29 являются посторонними.

Ответ : no13 30

При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций.

Пример 12. Решить неравенство no13 31

Решение. Рассмотрим функцию no13 32

и решим неравенство f(x) Ј 0 методом интервалов.

1) Найдем D(f). Для этого решим систему

no13 33

2) Найдем нули f(x). Для этого решим уравнение

no13 34

no13 35

Корень x = – 2 является посторонним.

3) Решим неравенство f(x) Ј 0 методом интервалов.

no13 36

При решении уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметры, становится актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы преобразования (1)–(4) сделать равносильными, следует учесть естественные ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических функций и множествами их значений (см. замечание 3). Так, например,

no13 41

Пример 13. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2xa).

Решение. Данное уравнение равносильно системе no13 42

Графиком квадратного трехчлена f(x) = 2x 2 – 5ax + 2a2 – 1 является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1 2a. Это корень no13 44

Ответ: при любом a no13 45

III. Замена переменной

Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.

Пример 14. Решить уравнение no13 46

Решение. Обозначим no13 47 После преобразований получим уравнение

no13 48

Поскольку no13 49

откуда no13 50

Ответ : no13 51

Пример 15. Решить неравенство arccos 2 x – 3arccos x + 2 і 2.

Поскольку no13 53 откуда no13 54

Ответ : [– 1; cos 2] И [cos 1; 1].

Иногда свести уравнение или неравенство к алгебраическому можно с помощью тождества

no13 55

Пример 16. Решить уравнение no13 56

Решение. Данное уравнение равносильно следующему:

no13 57

Пусть arcsin x = t, no13 58

Тогда no13 59

no13 60

no13 61

IV. Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций

Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основывается исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.

Теорема 1. Если функция y = f(x) монотонна, то уравнение f(x) = c (c = const) имеет не более одного решения.

Теорема 2. Если функция y = f(x) монотонно возрастает, а функция y = g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения.

Теорема 3. Если no13 62 то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно
системе no13 63

Пример 17. Решить уравнение 2arcsin 2x = 3arccos x.

Решение. Функция y = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция y = 3arccos x – монотонно убывающей. Число x = 0,5 является, очевидно, корнем данного уравнения. В силу теоремы 2 этот корень – единственный.

Пример 18. Решить уравнение no13 64

Решение. Пусть x 2 + x = t. Тогда уравнение примет вид no13 65

Функции no13 67являются монотонно возрастающими. Поэтому функция no13 68также является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение no13 69имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому x 2 + x = 0 no13 70

Пример 19. Решить неравенство no13 71

Решение. Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на отрезке no13 72функцию no13 73Уравнение no13 74в силу теоремы 1 имеет не более одного корня. Очевидно, что no13 75– корень этого уравнения. Поэтому решением неравенства no13 76является отрезок no13 77

Ответ : no13 77

Решение. Поскольку arcsin no13 78то левая часть уравнения не превосходит no13 79Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно no13 80. Таким образом, уравнение равносильно системе:

no13 81

Решение последней системы не представляет труда.

Источник

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector