Обусловленная вероятность как определить

fashion 1031469 1920 Советы на день

Условная вероятность. Формула Байеса

Условная вероятность. Формула Байеса

Условная вероятность является одним из важнейших понятий теории вероятностей.

Условная вероятность — вероятность наступления события А при условии, что событие В произошло.

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, обозначается quicklatex.com 55ae3c52254238fb48ffd7fa4c897027 l3.

Прежде чем привести формулу, позволяющую вычислить условную вероятность, проиллюстрируем это понятие с помощью кругов Эйлера:

01 11

Пусть для некоторого эксперимента красный круг обозначает множество всех возможных исходов. Зеленый круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3, синий круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3, область, лежащая в пересечении этих кругов обозначает множество исходов, благоприятствующих обоим событиям quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3и quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3, обозначим его quicklatex.com d9e768ececcd13b0a93327a1a0da6bf6 l3.

Как мы знаем, вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

quicklatex.com 5a6ab00d7103e7e430e5eaceae5451ec l3

То есть вероятность события показывает, какую часть благоприятные исходы составляют от всех возможных исходов.

Если мы вычисляем вероятность события quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3в предположении, что событие quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3уже произошло (то есть условную вероятность), то в этом случае для нас множество исходов, благоприятствующих событию событию quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3окажется множеством всех возможных исходов, а благоприятными исходами будут те исходы, которые при этом еще благоприятствуют событию quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3. То есть нам нужно найти, какую часть число исходов, благоприятствующих событиям quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3и quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3составляет от числа исходов, благоприятствующих событию quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3.

Пусть quicklatex.com ddee3bf0e76b0f0121ac45683a23c7e9 l3, где quicklatex.com ffca3e82c484fbb8bb62483ec60fe2bd l3— число исходов, благоприятствующих событию quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3, quicklatex.com b3030b2394aba35b4d73075188d46d0b l3— число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации quicklatex.com ffca3e82c484fbb8bb62483ec60fe2bd l3— число элементов множества quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3)

Пусть quicklatex.com 980b74947379cd8b6ff202c8cccdac90 l3, где quicklatex.com db8fdd1f042679eed7a66791e98b6555 l3— число исходов, благоприятствующих событию quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3, quicklatex.com b3030b2394aba35b4d73075188d46d0b l3— число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации quicklatex.com db8fdd1f042679eed7a66791e98b6555 l3— число элементов множества quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3)

Пусть quicklatex.com 21120e19216445f989589fb71b513517 l3, где quicklatex.com 596122d8be3f86cc4bd2e1398ab41784 l3— число исходов, благоприятствующих событиям quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3и quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3, quicklatex.com b3030b2394aba35b4d73075188d46d0b l3— число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации quicklatex.com 596122d8be3f86cc4bd2e1398ab41784 l3— число элементов множества quicklatex.com d9e768ececcd13b0a93327a1a0da6bf6 l3, которое является пересечением множеств quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3и quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3).

Тогда quicklatex.com 09d7dc1e8dce33dc90e66d9ba2134134 l3

Но по определению условной вероятности quicklatex.com b18fa76ae2f7b0bdbb4ba298750fe4a5 l3, следовательно

quicklatex.com 5e834996cccc0fc2531ae178e8ce273b l3(1)

Заметим, что аналогично получим формулу для нахождения вероятности наступления события quicklatex.com e1b9cf5c5775978a6eb9af4f84d7e504 l3при условии, что событие quicklatex.com 3fae06210cb4529155c990d8d9838d68 l3произошло:

quicklatex.com 236f2133b3308e89e7bf021209443c57 l3(2)

Очевидно, что quicklatex.com 69ca866f56c00282768469aa6fc8f914 l3

Формулы (1) и (2) для нахождения условной вероятности по сути одна и та же формула, это и есть формула Байеса.

Рассмотрим примеры задач на условную вероятность.

Пример 1. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

В задаче описана следующая ситуация: при производстве посуды часть тарелок имеют дефект. Но контроль качества отбраковывает не все дефектные тарелки, а только 80% из них, остальные (20%) поступают в продажу.

Нам нужно найти вероятность того, что что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. То есть нас интересует какая часть из всех тарелок, которые поступили в продажу, не имеют дефекта.

Нарисуем дерево вероятностей:

01 12

Красными веточками обозначены тарелки, которые поступили в продажу. Это тарелки без дефектов (они составляют 0,9 от всех тарелок) и тарелки с дефектами, которые пропустила система контроля. Их quicklatex.com e2212fb4c63fbe2078a7af0a918b67dd l3от всех тарелок.

Таким образом, вероятность того, что тарелка поступила в продажу равна quicklatex.com 8bc97dd092a6b511404707699e0024ea l3. При этом вероятность того, что тарелка не имеет дефектов равна quicklatex.com 90761c58e8cc3a3263d6c5e5c7155190 l3.

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов равна quicklatex.com 8701058028076a00d3de867ec6f0bad7 l3

40% пакетов с молоком производят на молочном комбинате в Л., а остальные на молокозаводе в С. Известно, что в среднем 3% пакетов, поступивших в продажу протекают, а среди пакетов, изготовленных в Л. протекают в среднем 5%.

а) Найдите вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С.

б) Найдите вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С протекает.

Решение. Нам нужно найти вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. То есть нам нужно найти, какая часть из всех протекающих пакетов изготовлена на заводе в С. По условию задачи всего протекает 3%, то есть 0,03 часть всех пакетов. Пусть среди пакетов, изготовленных на заводе в С. протекает quicklatex.com 4ec8d3fee12d10b3855b33535cb75c7e l3%.

Нарисуем дерево вероятностей:

01 16

Красными веточками обозначены пакеты, которые протекают. При этом на заводе в Л. изготовлено quicklatex.com 38462fc57ccfdd3971159f663fccb2ba l3всех протекающих пакетов. На заводе в С. изготовлено quicklatex.com 8183ba741f0b36160921d4f37d6bfb15 l3от всех протекающих пакетов.

Получаем quicklatex.com fc7b3aeb69d5520379ac14cf675f6aae l3, отсюда quicklatex.com 95f0dc95df3aabcde320a5643bfcf402 l3. То есть вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С. протекает, равна quicklatex.com 9f8f050f82ded6247b8b91a321182f02 l3. Получим, что на заводе в С. изготовлено quicklatex.com 18d55c2504a9495d2f80e80161201f48 l3от всех протекающих пакетов. Это число мы могли бы получить, если бы из части всех протекающих пакетов (0,03) вычли бы часть протекающих пакетов, изготовленных на заводе в Л. (0,02). (Мы бы так и поступили, если бы нужно было бы ответить только на п. а) задачи)

Тогда вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. равна quicklatex.com e8b4ed9ffb270e51bdef1535f7e26480 l3.

Ответ: а) quicklatex.com f55efa1828045d389f1c2795c8253db7 l3, б) quicklatex.com 656418999dc1b1d347597586607c0c90 l3.

Источник

Чтобы понять значение вероятности в инвестиционном контексте, нам необходимо различать два типа вероятности: безусловную и условную.

Как безусловные, так и условные вероятности удовлетворяют приведенному ранее определению вероятности, но они рассчитываются или оцениваются по-разному и имеют разные интерпретации. Они дают ответы на разные вопросы.

Из-за возможной путаницы с тем, что термин margin используется в экономике в другом смысле (например, как маржинальный применительно к прибыли), лучше использовать термин ‘unconditional probability’.

Что такое безусловная вероятность?

Рассмотрим вопрос: «Какова вероятность того, что акция принесет доход выше безрисковой ставки (событие \(A\)?

Что такое условная вероятность?

Сравните вопрос «Какова вероятность события \(A\)?» с вопросом «Какова вероятность события \(A\), учитывая, что событие \(B\) произошло?»

Вероятность в ответе на этот последний вопрос является условной вероятностью (англ. ‘conditional probability’), обозначаемой как \( P(A|B) \) (читается как: «вероятность \(A\) при условии \(B\)»).

Предположим, мы хотим знать вероятность того, что акция принесет доход выше безрисковой ставки (событие \(A\)), при условии, что акция принесет положительный доход (событие \(B\)). Фразой «при условии» мы ограничиваем исход доходностью более 0%.

Условная вероятность рассчитывается как отношение двух величин.

Знаменатель, однако, изменяется от 1 до суммы вероятностей для всех исходов (ставок доходности) выше 0%.

Предположим, что знаменатель равен 0.80, что больше, чем 0.70, поскольку доходность от 0 до безрисковой ставки имеет некоторую положительную вероятность возникновения.

\( P(A | B) = 0.70/0.80 = 0.875 \)

Если мы наблюдаем, что акция приносит положительный доход, то вероятность доходности выше безрисковой ставки будет больше, чем безусловная вероятность, то есть вероятность события, не сопровождаемая никакой другой информацией. Результат интуитивно понятен.

В этом примере условная вероятность больше, чем безусловная вероятность. Тем не менее, в зависимости от фактов условная вероятность события может быть больше, равна или меньше безусловной вероятности.

Например, вероятность того, что акция принесет доход выше безрисковой ставки, при условии того, что акция принесет отрицательный доход, равна 0.

При обсуждении подходов к расчету вероятности мы дали одну эмпирическую оценку вероятности того, что изменение дивидендов является уменьшением дивидендов. Эта вероятность была безусловной вероятностью.

Учитывая дополнительную информацию о характеристиках компании, может ли инвестор уточнить эту оценку?

Инвесторы постоянно ищут информационное преимущество, которое поможет улучшить их прогнозы. С математической точки зрения они пытаются сформулировать свое видение будущего, используя вероятности, обусловленные соответствующей информацией или событиями. Инвесторы не игнорируют полезную информацию; они корректируют свои вероятности, чтобы учесть ее.

Таким образом, концепции условной вероятности, а также связанные с ними концепции, обсуждаемые далее, чрезвычайно важны в инвестиционном анализе и анализе финансовых рынков.

Что такое совместная вероятность?

Чтобы сформулировать точное определение условной вероятности, нам сначала нужно ввести понятие совместной вероятности (англ. ‘joint probability’).

Предположим, мы задаем вопрос: «Какова вероятность того, что произойдет и событие \(A\), и событие \(B\). Ответом на этот вопрос является совместная вероятность, обозначаемая \( P(AB) \) (читается как: «вероятность событий \(A\) и \(B\)»).

Если мы думаем о вероятности \(A\) и вероятности \(B\) как о наборах данных, построенных из результатов одной или нескольких случайных величин, совместная вероятность \(A\) и \(B\) является суммой вероятностей общих для них результатов.

Например, рассмотрим два события:

Результаты \(A\) содержатся в подмножестве результатов \(B\), поэтому \(P(AB)\)\) равно \(P(A)\).

Теперь мы можем сформулировать формальное определение условной вероятности, которое обеспечивает формулу для ее вычисления.

Определение условной вероятности.

Условная вероятность \(A\) при условии события \(B\) равна общей вероятности \(A\) и \(B\), деленной на вероятность \(B\) (предполагается, что она не равна 0).

\( \large P(A|B) = P(AB)/P(B), P(B) \neq 0 \) (Формула 1)

Иногда мы знаем условную вероятность \(P (A|B)\) и хотим знать общую вероятность \(P(AB)\). Мы можем получить общую вероятность из следующего правила умножения для вероятностей, которое выведено из Формулы 1.

Правило умножения для вероятности.

Совместная вероятность \(A\) и \(B\) может быть выражена как:

\( \large P(AB) = P(A|B)P(B) \) (Формула 2)

Пример (2). Условная вероятность и предсказуемость финансовых результатов взаимного фонда.

Французский исследователь Vidal-Garcia (2013) изучил, прогнозируют ли исторические показатели будущие результаты для выборки взаимных фондов, включающей 1050 активно управляемых фондов акций в 6 европейских странах в период с 1988 по 2010 год.

Фонды были классифицированы по 9 инвестиционным стилям на основе сочетаний инвестиционной направленности (рост, смешивание и стоимость) и рыночной капитализации фонда (малая, средняя и большая капитализация).

Один из подходов, использованных Vidal-Garcia, заключался в расчете годовой доходности, скорректированной по контрольным показателям каждого фонда, путем вычитания контрольной доходности из годовой доходности фонда.

В качестве ориентиров использовались индексы стиля MSCI (Morgan Stanley Capital International).

Для каждого инвестиционного стиля фонда в каждой стране фонды классифицировались как выигрышные или проигрышные в течение каждого из двух последовательных лет.

Первые 50% фондов по доходности, скорректированной по контрольным показателям, за данный год были названы выигрышными; остальные 50% были названы проигрышными.

Выдержка из результатов исследования для 135 французских фондов, классифицируемых как крупные фонды, приведена в Таблице 2. Она показывает процентную долю тех фондов, которые были выигрышными в течение 2 лет подряд, выигрышными в течение 1 года, а также сначала проигрышными, а затем выигрышными, и проигрышными в оба года.

Например, ячейка таблицы Выигрышный (год 2) / Выигрышный (год 1) показывает, что 65,5% фондов, выигрышных в 1-м году, также были выигрышными во 2-м году. Обратите внимание, что четыре значения в таблице можно рассматривать как условные вероятности.

Таблица 2. Постоянство доходности
крупных фондов во Франции: с 1988 по 2010 гг.

Источник: Vidal-Garcia (2013).

На основании данных Таблицы 2 сделайте следующее:

Решение для части 1:

Четыре события, необходимые для определения условных вероятностей:

Решение для части 2:

Решение для части 3:

Эти вероятности рассчитываются на основе данных, поэтому они являются эмпирическими вероятностями.

Решение для части 4:

Расчетная вероятность составляет 0.423.

Берем соответствующие значения из Таблицы 2:

\( P(A|B) = 0.845\) и \(P(B) = 0.50\)

Таким образом, используя Формулу 2, мы находим:

\( P(AB) = P(A|B)P(B) = 0.845(0.50) = 0.4225\)

или вероятность приблизительно равную 0.423.

Формула 2 гласит, что совместная вероятность событий \(A\) и \(B\) равна вероятности \(A\), при условии \(B\), умноженной на вероятность \(B\).

Поскольку \( P(AB) = P(BA) \), выражение \( P(AB) = P(BA) = P(B|A)P(A) \) эквивалентно Формуле 2.

Правило сложения для вероятностей.

Если мы рассматриваем отдельные вероятности \(A\) и \(B\) как наборы данных, построенные из результатов одной или нескольких случайных величин, первый шаг в вычислении вероятности \(A\) или \(B\) состоит в суммировании вероятностей результатов \(A\) для получения \(P(A)\).

В качестве примера расчета,

Только в случае если два события \(A\) и \(B\) являются взаимоисключающими, \( P(AB) \) будет равно 0.

Было бы правильно заявить, что \( P(A \text < или >B) = P(A) + P(B) \).

Следующий пример показывает, сколько полезной информации можно получить, используя несколько правил вероятности, представленных на данный момент.

Пример (3) вероятности выполнения заявки на покупку акций с ограничением цены.

У вас есть две неисполненных лимитных заявки на одну и ту же акцию.

Ряд поставщиков, в том числе используемая вами интернет-служба, предоставляют предполагаемую вероятность того, что лимитная заявка будет исполнена в течение установленного периода времени, с учетом текущей цены акций и лимита цены.

Решение для части 1:

Вероятность составляет 0.35.

Даны две вероятности: Р(Заявка 1 исполнена) = 0.35 и Р(Заявка 2 исполнене) = 0.25.

Р(Заявка 1 исполнена | Заявка 2 исполнена) = 1

Р(Заявка 1 исполнена И Заявка 2 исполнена) =
Р(Заявка 1 исполнена | Заявка 2 исполнена)
\(\times\) P(Заявка 2 исполнена) =
= 1(0.25) = 0.25

Чтобы ответить на вопрос, мы используем правило сложения для вероятностей:

Обратите внимание, что результаты, для которых Заявка 2 исполнена, являются подмножеством результатов, для которых исполнена Заявка 1.

Если вы посчитаете вероятность того, что Заявка 1 исполнена, то также посчитаете вероятность того, что исполнена Заявка 2.

Следовательно, вероятностью того, что Заявка 1 исполнена, будет 0.35.

Решение для части 2:

Если Заявка 1 исполняется, вероятность исполнения Заявки 2 составляет 0.714.

В решении для части 1 вы обнаружили, что Р(Заявка 1 исполнена И Заявка 2 исполнена) = 1(0.25) = 0.25.

Эквивалентный способ выразить эту совместную вероятность будет полезен и здесь:

Р(Заявка 1 исполнена И Заявка 2 исполнена) = 0.25 = Р(Заявка 2 исполнена | Заявка 1 исполнена) \(\times\) P(Заявка 1 исполнена)

Поскольку известно, что P(Заявка 1 исполнена) = 0.35, у вас есть одно уравнение с одним неизвестным:

0.25 = Р(Заявка 2 исполнена | Заявка 1 исполнена) (0.35)

Вы определяете, что

Р(Заявка 2 исполнена | Заявка 1 исполнена) = 0.25/0.35 = 5/7 или примерно 0.714.

Вы также можете использовать Формулу 1, чтобы такое же решение.

Источник

Учебник по теории вероятностей

1.5. Условная вероятность

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

$$P(AB)=P(B)\cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A).$$

В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:

Примеры решений на условную вероятность

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
image008.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
image010.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность image012.

Этот же результат можно получить по формуле
image014.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
image016.

Найдем вероятность image018того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений image020. Из этого числа исходов событию image022благоприятствуют image024исходов. Следовательно, image026.

Искомая условная вероятность
image028

Пример. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): image030. Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

image032;

image034;

отсюда искомая вероятность
image036

Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Получаем
image042.

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
image044.

Источник

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector